Уравнения как математические модели реальных ситуаций

 

В учебнике по алгебре для 7 класса уже в §2, §3 предлагаются для изучения темы «Что такое математический язык», «Что такое математическая модель» соответственно. Далее весь материал опирается на понятия «математическая модель», «моделирование», выделяются этапы математического моделирования при решении сюжетных задач.

В 8 классе большое внимание уделяется изучению уравнений – математических моделей реальных ситуаций. В данной учебной программе уравнения:

1. выступают как средство решения текстовых задач;
2. выступают как средство исследования функции;
3. уравнение – это ведущее понятия алгебры, особого рода формула, которая сама является объектом изучения в алгебре.

Следует отметить, что тема «Уравнения» в учебниках А. Г. Мордковича изучается в 7-8 классах, а в 9 классе изучается уже тема «Системы уравнений». А в учебниках под редакцией С. А. Теляковского отсутствуют понятия «математический язык», «математическая модель», изучение темы «Уравнения» начинается в курсе алгебры 7 класса и продолжается до 9 класса включительно, что, на мой взгляд, нецелесообразно, так как нарушается логическая последовательность изучаемой темы. Автор дает материал в готовом виде, материал строится по образцу, что, на мой взгляд, является недостатком, так как у учащихся не формируется способность (рефлексия, анализ, планирование) по совершенствованию знаний.

В учебниках А. Г. Мордковича используется один из принципов РО: знания учащимся «не даются в готовом виде», а предлагается система заданий, при решении которых, учащиеся самостоятельно приходят к теоретическим выводам. Материал излагается доступно для учащихся, выдерживается логическая последовательность, задания строятся по принципу «от простого к сложному». Главная особенность учебников А. Г. Мордковича в том, что он основан на принципах проблемного, развивающего и опережающего обучения.

Все проанализированные учебники написаны в соответствии с действующим стандартом школьного математического образования.

 

 

Краткие выводы

 

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, теми методами познания, которыми они должны овладеть. Во-вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Метод моделирования используется в любой науке, обладает эвристической силой: позволяет свести изучение сложного к простому, т.е. сделать любой сложный объект доступным для тщательного всестороннего изучения.

 

 

 

 

Заключение

 

 

Явное введение в содержание обучения понятий математической модели и моделирования, выяснение сущности и роли моделирования в математике существенно меняет отношение школьников к учебным занятиям, делает их учебную деятельность более осмысленной и продуктивной.

Для того чтобы учащиеся овладели моделированием как методом научного познания, недостаточно лишь познакомить их с трактовкой понятий модели и моделирования, недостаточно лишь демонстрировать им разные математические модели и показывать процесс моделирования при решении задач. Надо, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-то явления с помощью моделирования. Когда учащиеся, решая практическую математическую задачу, понимая, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают эти модели, решают их и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования. Психологические теории обучения предполагают явное введение действия моделирования в процесс изучения любого фундаментального понятия.

Моделирование как учебное средство может использоваться в следующих целях:

1. построение модели ориентировочной основы умственных действий. Модель ООД может быть построена в виде учебной карты, где схематически перечислены все операции, которые надо выполнить для осуществления изучаемого умственного действия.
2. модели изучаемого раздела (темы) учебной программы в виде некоторой схемы можно использовать для планирования учащимися своей учебной работы, для самоконтроля и самооценки изученного материала.
3. модели изученного материала в виде схемы можно использовать для лучшего его запоминания, для обобщения.

Широкое и разностороннее использование моделирования оказывает позитивное влияние на формирование научного мировоззрения учащихся.

Таким образом, наглядные пособия и моделирование должны широко и разумно использоваться в процессе обучения математике.

Из приведенных ранее выводов и гипотез, я считаю, что в основу педагогического образования нужно вводить термин «моделирование» в явном виде, уделять большое внимание решению задач с помощью уравнений, так как уравнения – это математические модели реальных ситуаций. Явное знакомство учащихся с модельным характером науки, с понятиями моделирования и модели необходимо в целях формирования у них научного мировоззрения. Модели позволяют создавать у учащихся наглядные образы таких объектов изучения, как абстрактные понятия, отношения, которые обычными средствами предметной наглядности создать невозможно.

Таким образом, задачи исследования решены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список испозьзованной литературы

 

 

1. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобр. учреждений / Под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2008. – 240 с.
2. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобр. учреждений / Под ред. С. А. Теляковского. – 15-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2007. – 271 с.
3. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобр. учреждений / Под ред. С. А. Теляковского. – 15-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2008. – 272 с.
4. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: Учебник для 6 кл. общеобр. учреждений, 20-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007. – 288 с.
5. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика: Учебник для 5 кл. общеобр. учреждений, 3-21-е изд. – М.: Мнемозина, 2007. – 280 с.
6. Глинский Б.А., Грязнов Б.С., Дынин Б.С., Никитин Е.П. Моделирование как метод научного исследования (гносеологический анализ). – М.: МГУ, 1965. – 248 с.
7. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс, часть 1. – М.:          «С-Инфо», «Баласс», 2001. – 176 с.
8. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс, часть 2. – М.:          «С-Инфо», «Баласс», 2001. – 240 с.
9. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс, часть 1. – М.:          «С-Инфо», «Баласс», 2003. – 112 с.
10. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс, часть 2. – М.:         «С-Инфо», «Баласс», 2003. – 128 с.
11. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс, часть 3. – М.:         «С-Инфо», «Баласс», 2002. – 176 с.
12. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., дораб. и испр. – М.: Мнемозина, 2004. – 270 с.
13. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений. – 3-е изд., дораб. и испр. – М.: Мнемозина, 2004. – 264 с.
14. Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1: Учебник для учащихся общеобр. учреждений, 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2008. – 160 с.
15. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1: Учебник для учащихся общеобр. учреждений, 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2008. – 215 с.
16. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1: Учебник для учащихся общеобр. учреждений, 5-е изд.  – М.: Мнемозина, 2003. – 192 с.
17. Салмина Н. Г. Виды и функции материализации в обучении. – М.: Изд-во ун-та, 1981. – 136 с.
18. Талызина Н. Ф. Педагогическая психология. Учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведении. – М.: Академия, 1998. – 288 с.
19. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.
20. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная пресса, 2002.  – 208 с.
21. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. Пособие для учителей и методистов. – М.: Московский психолого – социальный институт: Флинта, 1988. – 224 с.
22. Штофф В. А. Моделирование и философия. – М.: Наука, 1966. – 21 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

 

 

Практическое применение модели как средства обучения (на примере фрагмента урока).

Алгебра. 8 класс.

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели и задачи урока:

Образовательные:

продолжить формирование умений решать квадратные уравнения по формуле;

закрепить умения решать квадратные уравнения и достигнуть понимания решений квадратных уравнений по формуле;

совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи, уметь проверять соответствие найденного решения условиям задачи.

Развивающие:

развитие памяти учащихся;

развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

развитие любознательности.

Воспитательные:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;

содействовать  формированию системы знаний, представлений, понятий;

способствовать поддержанию на высоком уровне общей работоспособности для учения.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование урока: заранее подготовленные листочки и копировальная бумага к математическому диктанту.

Использованная литература: Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, С. Б. Суворова; под редакцией С. А. Теляковского.

План урока:

1. Организационный момент;

2. Актуализация опорных знаний;

3. Этап изучения нового материала;

4. Решение задач на закрепление пройденной темы;

5. Подведение итогов урока  и постановка домашнего задания.

Ход урока:

1. (Подготовка учащихся к восприятию учебного материала) Приветствие, ориентация класса на работу, изложение плана работы на уроке.
2. (Проведение математического диктанта и тренировочных упражнений)

Учитель:  Начнем наш урок с написания математического диктанта. На листочках подпишите свои фамилию и имя, а также укажите свой № вариант. (Диктую задания для обоих варианта по 2 раза. Не следует давать под запись условия заданий!)

Вариант I	Вариант II
1.Запишите квадратное  уравнение, у которого a=1, b=-8, c=-9. Сколько корней оно имеет?(x2-8x-9=0  D=100;D>0 2 корня)	1. Запишите квадратное  уравнение, у которого a=1, b=-8, c=7. Сколько корней оно имеет? (x2-8x+7=0  D=36;D>0 2 корня)
2. Найти корни  квадратного уравнения   3x2-8x-3=0.(D=100, x1=3, x2=- )	2. Найти корни  квадратного уравнения   2x2-3x-2=0.(D=25, x1=2, x2=- )
3. При каком  условии квадратное уравнение  не имеет корней?(D<0)	3. При каком  условии квадратное уравнение  имеет единственный корней?(D=0)
4. Решить уравнение x2-16=0 (x=4 или x=-4)	4. Решить уравнение x2-3x=0 (x=0 или x=3)

 

Учитель: Проверьте еще раз. (Сдают одну (верхнюю часть), а другая (нижняя часть) остается у учащихся).

                       Давайте сверим ответы с ответами  на доске.  На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

                       все сделано правильно – «5»;

                       одна ошибка – «4» 

                       сделано два задания это «3».

Давайте сделаем вывод: итак, мы научились решать различные квадратные уравнения.

Учитель: На повторение решим следующее уравнение. (Записано на доске)

Учитель: …работает на доске с подробным объяснением. Все остальные записывают в тетрадях условие и решают вместе с нами.

Учитель: Какой мы можем сделать вывод? Мы умеем решать и более сложные квадратные уравнения.

 

 

3. Этап изучения нового материала.

Учитель: Ребята, вы учились решать разнообразные квадратные уравнения с применением разных формул не зря, а для решения большого аппарата задач.

 

Учитель: Запишите тему нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений». Перед нами стоит задача: совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи и умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи.

 

Учитель: Рассмотрим применение квадратных уравнений при решении задачи №560 из учебника Теляковского.

 

Для начала, давайте вспомним основные этапы решения задачи на составление уравнения. Нам известны три этапы. Какие это этапы?

Ученик: 1. Анализ условия, составление математической модели.

               2. Работа с моделью.

               3. Запись ответа.

 

Учитель: Возвращаемся к нашей задаче.

Учитель: …, прочитай, пожалуйста, условие.

Ученик: найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2.

Учитель: Будем решать с помощью уравнения.

Зарисуйте в своих тетрадях таблицу.  

 

длина	ширина	площадь	периметр

 

    Как вам известно, за неизвестное берется наименьшее, а наименьшее у нас по условию  задачи – ширина. Запишем.

    Как теперь  найти площадь, зная длину и  ширину?

Ученик: S=a·b, где a- длина прямоугольника, b –ширина прямоугольника.

    Кроме того, знаем, что S=60 см2.(Заполним таблицу)

    Теперь давайте  дадим полное пояснение нашим  действиям:

Пусть x см – ширина прямоугольника, тогда его длина (x+4)см. Площадь равна x(x+4)см2, что по условию задачи составляет 60см2.