Формирование мыслительных операций младших школьников при решении уравнений

При включении учащихся в систему работы по решению уравнений  происходит формирование понятий. По словам Л.С. Выготского, понятие - это не просто совокупность ассоциативных связей, усеваемая с помощью памяти, а сложный и подлинный акт мышления, которым нельзя овладеть с помощью заучивания, требующий, «чтобы мысль ребенка поднялась в своём внутреннем развитии на высшую ступень, чтобы понятие могло возникнуть в сознании» [6, с. 188]. Понятие на любой ступени развития представляет собой с психологической стороны акт обобщения.

Формирование  понятий (или усвоение понятия) - это умение выяснять свойства, присущие некоторым классам объектов или идей [27, с. 247]. Этот термин имеет более ограниченное значение, чем термин мышление. Формирование понятий - одна из самых важных когнитивных функций человека, связанная с активной работой мышления, операционными компонентами которого являются мыслительные операции.

Формирование понятий  включает выделение признаков, общих  для некоторого класса объектов, и раскрытие правил, связывающих эти концептуальные признаки. Для этого процесса важны такие виды когнитивной деятельности как усвоение правил, ассоциирование и проверка гипотез. Одна из теорий формирования понятий (Рестл и Бурн) [27] предполагает, что между существенными признаками понятия и подкрепляемыми ответными реакциями образуется ассоциации, причем неподкрепляемые реакции на несущественные признаки со временем прекращаются. Такая позиция не различает процессы выделения признаков и усвоения правил.

Общим базисом для  полноценного протекания любого мыслительного процесса, является наличие как минимум трех универсальных составляющих мышления: 1) высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, выделения существенного и других, выступающих в качестве наиболее дробных элементов мышления; 2) высокий уровень активности, раскованности и плюралистичности мышления, проявляющийся в продуцировании большого количества различных гипотез; 3) высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, проявляющийся в четкой ориентации на выделение существенного в явлениях, использование обобщенных схем анализа явления.

Включая учащихся в систематическую  работу по формированию мыслительных операций, важно учитывать, что начинающий младший школьник не всегда обладает адекватной собственно учебной мотивацией. Подлинная сущность учения раскрывается ребёнку лишь в процессе овладения им этой деятельностью. Учебно-познавательные потребности формируются только в результате полного развития учебной мотивации.

По мнению одних ученых, в процессе обучения необходимо учитывать  три основные особенности учащихся: 1) уровень успеваемости; 2) уровень  познавательных способностей; 3) степень  действенности интереса к учению [36]. Другие выделяют в качестве приоритетных: 1) скорость усвоения учебного материала, определяемую темпом обобщений; 2) общие умственные способности, требуемые для осуществления учащимися учебной деятельности: способность запоминать материал, способность проведения логических операций, способность творческого мышления; 3) специальные способности и одаренность детей [42].

Перед учебной практикой  ставится задача обучения самим приемам  умственной деятельности (мыслительным операциям). Овладение приемами происходит, во-первых, через ознакомление учащихся с ними, во-вторых, через упражнения-применение соответствующих приемов умственной деятельности на различном материале, в-третьих, через перенос-использование приемов при решении новых задач.

Одним из условий оптимизации  процесса формирования мыслительных операций является включение системы заданий  по решению уравнений в уроки и внеклассные занятия. Можно использовать следующие методические приемы, направленные на отработку элементарных мыслительных операций:

1. Составление уравнений из произвольных взятых данных (анализ, синтез);
2. Исключение лишнего уравнения из произвольно взятых уравнений (сравнение, классификация, обобщение);
3. Поиск аналогов - необходимо найти как можно больше аналогов произвольно выбранного уравнения (сравнение, анализ, синтез, аналогия, обобщение);
4. Поиск и составление обратных уравнений на основе связи между результатами и компонентами арифметических действий (сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение);
5. Поиск уравнений по заданным признакам (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование);
6. Поиск решения уравнения - указать из предложенных ответов правильный (анализ, синтез, классификация, обобщение);
7. Составление задач по уравнению (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование);
8. Решение задачи с помощью уравнения (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование);
9. Формирование определений (уравнение - это..., чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно ...) (обобщение);
10. Подбор уравнений к определению (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование);
11. Сокращение уравнения (сравнение, классификация; анализ, синтез);
12. Решение уравнения по алгоритму (анализ, синтез, аналогия).

Таким образом, при решении уравнений у младших школьников включается отвлеченное мышление, которое осуществляется при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, классификации и других. При этом ребёнок действует не с вещами, и их образами, а с понятиями о них, оформленных в словах или знаках по определенным правилам, отвлекаясь от наглядных особенностей вещей и их образов. Это еще раз убеждает в целесообразности использования системы заданий по решению уравнений для формирования мыслительных операций младших школьников [44, с. 83].

Если говорить о настоящем  состоянии современной начальной школы в нашей стране, что основное место все еще продолжает занимать учебная деятельность. На уроках по двум основным учебным дисциплинам - язык и математика - дети почти все время решают учебно-тренировочные типовые задачи. Их назначение состоит в том, чтобы поисковая деятельность детей с каждой последующей задачей одного и того же типа постепенно свертывалась и, в конечном счете, совсем исчезла.

В связи с такой  системой преподавания дети привыкают  решать задачи, которые всегда имеют готовые решения, а это тормозит развитие интеллекта детей, творческого мышления. Поэтому дети теряются в ситуациях, когда задача не имеет решения или, наоборот, имеет множество решений. Для успешного обучения детей в школе им необходимо решать задачи поискового характера и решение уравнений этому помогает.

В практике современной  начальной школы реализуются  два подхода к обучению и решению  уравнений. Сторонники одного считают, что познакомить детей с уравнениями и способами их решения следует как можно раньше (1-2 классы), так как дети смогут овладеть математической терминологией и способами действий в процессе решения уравнений. И чем раньше они начнут их решать, тем больше времени они смогут упражняться в овладении способами действий (В.Н. Рудницкая).

Сторонники другого  подхода предлагают приступить к решению уравнений только после того, как учащиеся усвоят взаимосвязь между компонентами и результатами действий, овладеют необходимой терминологией и смогут осознанно формулировать правила (способы действий), которые лежат в основе арифметического способа решения уравнений (М.И. Моро, Н.Б. Истомина, И. Аргинская, Л.Г. Петерсон).

В программе В.Н. Рудницкой (УМК «Начальная школа XXI века», рук. Н.Ф. Виноградова) предусматривается знакомство с уравнениями учащихся во втором классе. Здесь вводится понятие о переменной; выражении, содержащем переменную; нахождении значений выражений с переменной при заданном наборе её числовых значений; запись решения задач, содержащих переменную. Подготовкой к решению уравнений является формирование знаний у детей о числовых выражениях и выражениях с переменной. Учащиеся должны уметь приводить примеры выражений, содержащих переменную; вычислять значение выражения с переменной при заданном наборе числовых значений этой переменной. В третьем классе вводятся уравнения; предложения с переменной; рассматривается уравнение и его корень. Учащиеся решают простейшие уравнения способом подбора и на основе взаимосвязи между компонентами и результатами действий [8, с. 60]. Следовательно, можно говорить о реализации первого подхода.

В последние годы идея развивающего обучения стала вновь востребованной школой и обществом. В наши дни система Л. В. Занкова воспринимается как одна из новейших альтернативных технологий современного обучения, где знания, умения и навыки учащихся выступают не самоцелью, а лишь средством для их развития [29, с.28]. В настоящие время учебники (И. Аргинская) по системе Л. В. Занкова стали упрощаться. Прежде всего, стал исключаться материал, который содержал его теоретическую часть: обобщения, понятия. Таким материалом были записи алгебраических выражений с использованием буквенной символики, решение сложных уравнений. Разработка заданий по теме «Уравнение» направлена на формирование приёмов умственных действий – это одна из задач исследования, которое проводится в русле методической концепции развивающего обучения младших школьников математике [20, с. 50].

По программе Н. Б. Истоминой  тема «Уравнение» является одной  из заключительных тем начального курса  математики, и к моменту её изучения детьми уже хорошо усвоены взаимосвязь компонентов и результатов действий, свойства арифметических действий, определённого уровня достигли в вычислительных умениях. Систематическая работа по развитию логического мышления, формированию мыслительных процессов способствует тому, что к концу третьего класса абсолютное большинство детей достаточно свободно владеет основными приёмами умственной деятельности. Это позволяет их использовать при изучении таких абстрактных алгебраических понятий, как уравнение, с одной стороны, и продолжить формирование этих операций - с другой.

Отличительной особенностью изучения этой темы является одновременное рассмотрение всех видов простейших уравнений: на нахождение неизвестных компонентов. Такой подход даёт возможность сравнить методы решения каждого уравнения, сделать обобщение и увидеть общую основу решения - взаимосвязь компонентов и результатов действий. Это облегчает восприятие материала, что является преимуществом по сравнению с постепенным рассмотрением уравнений разных видов (по мере изучения арифметических действий), когда теряется возможность сравнения и обобщения. Важным мотивирующим фактором изучения уравнений является то, что рассмотрение нового, алгебраического способа решения задач осуществляется сразу после ознакомления с методами решения уравнений. Это позволяет детям увидеть прикладное значение уравнений. Содержание и последовательность материала, способы его «подачи», система учебных заданий – всё это направлено на непрерывное формирование приёмов умственных действий: анализа, синтеза, аналогии, классификации, обобщения и др.

Особое место при  изучении каждой темы занимают учебные  задания. Они являются основным средством  организации учебной деятельности. Содержание, формулировка и система  учебных заданий в развивающем курсе имеют ряд отличительных особенностей по сравнению с системой заданий, нацеленных на отработку знаний, умений и навыков [20, с. 51]. К ним относится вариативность формулировок, возможность действовать различными способами, необходимость привлечения ранее усвоенных знаний, умений и навыков, активного использования умственных действий. Формулировки заданий создают условия для активного использования анализа, сравнения математических объектов, классификации, нахождения общих закономерностей. Н. Б. Истомина предлагает систему упражнений, развивающих умения и навыки решения уравнений [22, с. 30] (приложение 3).

Итак, в учебниках Н.Б. Истоминой реализован второй подход. Младшие школьники знакомятся с уравнениями и их решением в четвертой четверти IV класса.

Помимо приведенных  аргументов такое позднее знакомство с уравнениями обусловлено нацеленностью курса на развитие мышления младших школьников в процессе усвоения программного материала. А поскольку эффективность мышления рассматривается психологами как результат «системы знаний, когда разные сведения постоянно сопоставляются друг с другом в самых разных отношениях и аспектах, по-разному обобщаются и дифференцируются, входят в разные цепочки причинно-следственных связей» [21, с. 187], то необходимо, прежде всего, понимание школьником изучаемых вопросов и осознание взаимосвязи и преемственности между ними.

О. Э. Городниченко [10, с. 211], опираясь на концептуальные положения программы по математике Н.Б. Истоминой, предлагает задания по формированию приёмов умственных действий при изучении темы «Уравнения» (на установление соответствия между уравнением и его графической моделью, на выбор уравнения, являющегося решением задачи, на выбор текста задачи, соответствующего некоторой модели, на составление уравнений по заданному условию), в которых находят отражение новые методические подходы к изучению понятия «уравнение», основанные на установлении соответствий между образными, графическими и математическими моделями, выявлении закономерностей и различных зависимостей.

В учебниках Л. Г. Петерсон осуществляется знакомство с уравнениями в III классе. Вводится понятие решение уравнения, корень уравнения [35, с. 29].

При анализе программы М. И. Моро «Математика» можно было выделить основные направления при ознакомлении учащихся с уравнениями [30, с. 230]. М. И. Моро начинает знакомство с простейшими уравнениями в III классе (х + 9 = 19) с решения подбором примеров с «окошком» вида □ + 3 = 7, что помогает сформировать понятие о том, что значит решить уравнение. В теме «Числа от 1 до 1000» программой предусмотрено решение уравнений на основе знания  взаимосвязей между компонентами и результатами действий. В четвёртом классе усложняется и структура решаемых уравнений (х • 8 = 246 - 86). Учащиеся знакомятся с понятиями равенство, левая и правая части равенства, это позволяет сформировать такие мыслительные процессы как: анализ, синтез, обобщение, классификация, аналогия, сравнение, конкретизация.

Изучив возрастные особенности  мышления и определив педагогические условия формирования мыслительных операций младших школьников, мы разработали систему заданий по данной проблеме [приложение 1] и включили некоторые из них в урок математики, проведенный в период прохождения практики [приложение 2]. Примерами таких заданий могут быть: 1) формирующие сравнение – прочитай уравнения и найдите лишнее (132+х=257; х+415=603; 248+х=680; х-164=670; 123+х=752; 324+х=532); 2) формирующие анализ и синтез - прочитайте задачу и выберите уравнение, которое поможет решить её (Света купила 3 м ленты и заплатила 48 рублей. Сколько стоит 1 м ленты? 1) х·□=□; 2) х:□=□; 3)□:х=□; 4)□+х=□) и др.