Методика формирования доказательного мышления на уроках математики у учащихся начальных классов

Особенно это проявляется  на уроках математики, где от действий с конкретными предметами ученик переходит к умственным операциям  с числом; то же имеет место и  на уроках русского языка при усвоении учащимися слова, которое сначала  не отделяется ими от предмета, но постепенно становится предметом специального изучения.

Как показывают исследования В.В. Давыдова, дети младшего школьного  возраста вполне могут овладевать элементами алгебры, например, устанавливать отношения  между величинами. Для выявления  отношений между величинами оказалось  необходимым моделирование этих отношений - выражение их в другой материальной форме, при которой  они выступают как бы в очищенном  виде и становятся ориентировочной  основой действий.[11]

Такое моделирование самим  ребёнком отношений между величинами (тяжести, объёма, площади, длины) осуществляется сначала в форме графических отношений (отрезков). Затем постепенный переход к моделированию посредством абстрактных символов типа А - В, А > В, А < В приводит к тому, что эти отношения становятся предметом действия ребёнка. Например, один литр воды обозначается на доске и в тетради отрезком определённой длины, а два литра - отрезком в два раза больше, три литра - отрезком в три раза больше и т.д. Затем дети начинают оперировать буквами, заменяющими соответствующие величины (отрезки).

 

1.3 Математические доказательства

Аристотель считал умение доказывать самой характерной чертой человека: «…Не может быть не позорным бессилие помочь себе словом, так как  пользование словом более свойственно  человеческой природе, чем пользование телом».[16]

Люди давно пришли к  выводу, что обоснованность, доказательность  – важные свойства правильного мышления, они являются отражением в нашем  сознании взаимосвязи, взаимообусловленности  предметов и явлений.

Основным содержанием  математики как науки являются некоторые  общие утверждения – теоремы, которые обосновываются (доказываются).

Что же такое доказательство? Что значит доказать теорему? Какими особенностями обладает это понятие? На эти вопросы мы постараемся  ответить в этом параграфе.

Доказать теорему AÞB – значит установить логическим путём, что всегда, когда выполняется свойство А, будет выполняться и свойство В.

В основе доказательства лежит  рассуждение – логическая операция, в результате которой из одного или  нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое (по отношению к исходным) знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение первоклассника, которому нужно установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7<8, потому что 7 при счёте называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты  опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два:

1. Если число а при  счёте называют раньше числа b, то a<b (для любых натуральных чисел a и b).
2. 7 при счёте называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит  общий характер, так как содержит квантор общности, подчёркивающий, что предложение имеет место для любых натуральных чисел a и b; его называют общей посылкой.

Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8, отражает частный  случай, его называют частной посылкой.

Из двух посылок и выведен  новый факт (7<8), его называют заключением.

Вообще в любом рассуждении  есть посылки и есть заключение. Между посылками и заключением существует определённая связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Доказательство в математике обладает рядом особенностей. В частности, оно проводится по правилам логики без каких-либо ссылок на наглядность  и опыт. Это не случайно.

Рассмотрим такую задачу. Дан прямоугольный треугольник  со сторонами 3 см и 4 см. Найти третью сторону. Эту задачу можно решать, например, так: нарисовать прямоугольный треугольник со сторонами 3 см и 4 см, измерить его третью сторону и получить результат 5 см. Если все проделать достаточно аккуратно, то такой результат получится. Является ли это решением задачи? В каком-то смысле, да. Цель достигнута, третья сторона найдена. Ну а если стороны не 3 и 4 см, а 3 и 4 км? Тогда уже не построить такие отрезки на листе бумаги и экспериментально третью сторону не измерить. Здесь «выручает» теория подобия. Если треугольник со сторонами 3 и 4 км уменьшить в 100 000 раз, так, чтобы углы оставить теми же, то у нового треугольника третья сторона будет равна 5 см. Значит, у исходного (в силу пропорциональности) – 5 км.

И все-таки людей не может  удовлетворить такой «опытный»  подход к решению задачи. Видимо, очень давно было замечено соотношение  между сторонами прямоугольного треугольника:

с²=а²+b².

В классе, где 35 человек, можно  попросить нарисовать 35 прямоугольных  треугольников, измерить их стороны  и предложить попытаться найти эту  закономерность. Допустим, что такая  гипотеза, что для любого прямоугольного треугольника верна формула: с²=а²+b², сформулирована. Вот после этого и встаёт вопрос строгого математического доказательства этой гипотезы.

Как вы уже понимаете, проверка этого соотношения на большом  числе примеров не может являться доказательством этой гипотезы потому, что существуют чисто логические возражения против такого доказательства: «гипотеза верна для ста примеров, но ведь вы проверили не все примеры  и не можете проверить из-за их бесконечно большого количества», то есть проведена неполная индукция, делающая гипотезу правдоподобной, но ещё не доказанной. Кроме того, не всегда будут получаться точные результаты из-за ошибок в измерении. Это тоже будет ставить гипотезу под сомнение.

Очевидно, нужно придумать  такое рассуждение, которое бы не зависело от выбора конкретного треугольника, не опиралось на практические измерения. Такое доказательство (и даже не одно) существует.

Заметим, что «опытное доказательство», которое не является строгим с  математической и логической точки  зрения, на определённом этапе обучения является очень полезным.

Таким образом, «в логике под  доказательством понимают логическое действие, в процессе которого истинность какой либо мысли обосновывается с помощью других мыслей».[14]

Всякое математическое утверждение, кроме определения и аксиомы, должно быть доказано. Доказательство истинности утверждений как раз  и состоит из цепочки обоснований доказываемого утверждения с помощью других утверждений, которые являются к моменту доказательства рассматриваемого утверждения истинными.

Например, при доказательстве теоремы Пифагора с помощью подобия  считается, что признаки подобия  треугольников уже доказаны.

Доказательства имеют  свою постоянную структуру: тезис, аргументы, способ доказательства, вывод.

Главное требование к тезису – его чёткость и ясность. Основанием аргументов являются суждения, которые приводятся в обоснование тезиса. Аргументы должны быть точными и понятными, а их совокупность должна быть достаточной для доказательства или опровержения тезиса .

По способу ведения  доказательства подразделяются на косвенные и прямые.

«Прямое доказательство –  это такое доказательство, основывающееся на каком-нибудь истинном факте, из которого выводится истинность доказываемого утверждения».[14]

 «Косвенное доказательство – это такое, в котором истинность утверждения обосновывается с помощью опровержения противоречащего утверждения».[9]

То есть сначала доказывается ложность отрицания утверждения, что  означает, в силу закона исключённого третьего, истинность самого утверждения.

Доказательства на основании  дедукции или индукции являются прямыми. Косвенное доказательство – доказательство методом «от противного».

Рассмотрим подробней  эти виды доказательств.

 

1. Дедуктивные рассуждения

«Рассуждение, между посылками  и рассуждением которого имеет место  отношение следования, называют дедуктивным (от лат. deductio – выведение)».[14]

В дедуктивных рассуждениях мысль движется от общего к частному.

Например, в начальной  школе можно объяснить, почему 3*2=6, следующим образом: «3*2=6 потому, что 3+3=6».

Оказывается в этом умозаключении  скрыто дедуктивное рассуждение.

Общей посылкой служит само определение умножения:

 

A*b=a+a+…+a, где b>1.

 

                        b

       Частная посылка: 3*2=3+3=6.

Заключение: 3*2=6.

Между посылками и заключением  существует отношение следования, т.е., по определению дедуктивного рассуждения, это рассуждение является дедуктивным.

Каковы же условия, при  которых рассуждение будет дедуктивным?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к примерам.

 

Пример 1.

Рассмотрим рассуждение, в котором:

общая посылка: «Если натуральное  число кратно 4, то оно кратно 2»;

частная посылка: «Число 12 кратно 4»;

заключение: «Число 12 кратно 2».

 

В этом рассуждении и посылки, и заключения истинны. Можно предположить, что оно дедуктивное.

 

Пример 2.

Рассмотрим ещё одно рассуждение, в котором:

общая посылка: «Если натуральное  число кратно 4, то оно кратно 2»;

частная посылка: «Число 126 кратно 2»;

заключение: «Число 126 кратно 4».

 

В этом рассуждении обе  посылки истинны, а заключение ложно, так как 126 на 4 не делится.

Значит, это рассуждение  не является дедуктивным, и, следовательно, истинность посылок не единственное условие, обеспечивающее дедуктивность рассуждения.

Что же ещё необходимо?

Для того, чтобы ответить на вопрос, представим проведённые рассуждения в символической форме. Обозначим через А предложение «Натуральное число кратно 4», а через В – предложение «Натуральное число кратно 2». Тогда общая посылка в обоих рассуждениях будет иметь вид AÞB. Частная посылка в первом примере будет иметь вид А(12), а заключение – В(12). Для другого примера: вторая посылка – В(126), а заключение – А(126).

В соответствии с введёнными обозначениями данные рассуждения можно представить в таком виде:     

         Пример 1.                                    Пример 2.

        I посылка: AÞB                              I посылка: AÞB

        II посылка: А(12)                           II посылка: В(126)

        заключение: В(12).                          заключение: А(126).

В первом примере рассуждение  проводилось по схеме (AÞB и А(12))ÞВ(12), а во втором: (AÞB и В(126))ÞА(126).

Рассмотренные примеры позволяют  утверждать, что истинность посылок  не всегда гарантирует истинность заключения. Необходимо ещё рассуждать по таким схемам (правилам), которые обеспечивают такое заключение.

Мы рассмотрим только 3 основных таких правила, приняв их без доказательства.

1. Правило заключения: (AÞB и А(a))ÞВ(a), где AÞB – общая посылка, В(a) – заключение.
2. Правило отрицания: (AÞB и )Þ .
3. Правило силлогизма: (AÞB и ВÞС) Þ(АÞС).

Применение этих правил гарантирует, что рассуждение будет дедуктивным, то есть позволяет из истинных посылок  выводить истинное заключение.

Покажем, как используются данные правила для проверки правильности рассуждения.

Задача.

Являются ли следующие  рассуждения дедуктивными:

1. Все числа, запись которых оканчивается нулём, делятся на 5; число не делится на 5, следовательно, его запись не оканчивается нулём.
2. Если натуральное число кратно 8, то оно кратно 4; если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2; следовательно, если число кратно 8, то оно кратно 2.
3. Если запись числа оканчивается нулём, то это число делится на 5; число  не оканчивается нулём, следовательно, оно не делится на 5.

Решение.

1. Определим схему проведённого рассуждения. Обозначим буквой А предложение «запись числа оканчивается нулём», а буквой В предложение «число делится на 5». Тогда общая посылка примет вид AÞB, частная –это , а заключение – , то есть имеем рассуждение по схеме: (AÞB и )Þ .

Это правило отрицания, гарантирующее  истинность заключения. Следовательно, данное рассуждение дедуктивное.

2. Обозначим через А предложение «натуральное число кратно 8», через В предложение «натуральное число кратно 4», через С предложение «натуральное число кратно 2». Схема этого рассуждения: (AÞB и ВÞС) Þ(АÞС). Такая схема – это правило силлогизма – гарантирует истинность заключения. Значит, данное рассуждение дедуктивное.
3. Обозначим буквой А предложение «запись числа оканчивается нулём», а буквой В предложение «число делится на 5». Тогда схема этого рассуждения примет вид (AÞB и )Þ . Эта схема не гарантирует истинности заключения. Например, число 45 не оканчивается нулём, но делится на 5. Это рассуждение не является дедуктивным.