Разработка элективного курса «Решение текстовых задач» для учащихся 9 класса

Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчикам, а с другой – дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам и составляет прибыль банка. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.

Одним из самых распространенных способов привлечения в банк сбережений граждан, фирм и т.д. является открытие вкладчиком сберегательного счета: вкладчик может вносить за свой счет дополнительные суммы денег, может снимать со счета определенную сумму, может закрыть счет, полностью изъяв деньги, на нем хранящиеся. При этом вкладчик получает от банка плату в виде процентов за использование его денег для выдачи кредитов предпринимателям, фирмам, государству, другим банкам и т.д.

Рассмотрим схемы расчета банка с вкладчиками. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

Простые проценты.

Увеличение вклада по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р % от первоначальной суммы . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет Sо р/100 рублей и величина вклада станет равной S = Sо (1 + р/100) рублей; р% называют годовой процентной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета начисленные процессы Sо р/100, а сумму Sо составит, в банке вновь начислят рублей, а за два года начисленные проценты составят рублей, через n лет на вкладе по формуле простого процента будет

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимет со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, Sо, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами.

Sn = Sо (1 + р/100)n, где n = 1, 2, 3…

III. Решение задач.

Задача 1. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 руб. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

Решение:

Используя формулу:

Ответ: 280000 руб.; 360000 руб.

Задача 2. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 руб. возрастет за 6 месяцев до 650 руб.

Решение:

Ответ: 5 %.

           Задача 3. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4 % в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33000 руб.

Решение:

 

р

Ответ: 25000 руб.

           Задача 4. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 руб. на вклад, годовой доход по которому составляет 12 %, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?

Решение:

 Воспользуемся формулой сложных  процентов , получим

Ответ: 3947 руб. 65 коп.

IV. Итоги занятия.

В конце занятия учащиеся обмениваются своими решениями и проверяют задачи. Затем способы решения задач рассматриваются всеми учащимися и сверяются ответы.

V. Домашнее задание.

1. Банк обещает вкладчикам удвоить  их сбережения за пять лет, если они воспользуются вкладом  «накопление» с годовой процентной  ставкой 16 %. Проверьте, выполнит ли  банк свое обязательство.

Ответ: да.

2. Деньги, вложенные в банк, приносят  ежегодно 20 % дохода. За сколько лет  вложенная сумма удвоится?

Ответ: за 5 лет.

3. Клиент имел в банке счет, по которому начислялось 6 % годовых. После того как банк предложил новые виды вкладов, он снял с этого счета все деньги и 2000 руб. положил на вклад, по которому начислялось 8 % годовых, а остальные – на вклад с 9 % годовых. В результате его годовой доход оказался на 130 руб. больше чем по прежнему вкладу. Сколько денег он внес на новые вклады?

Ответ: 5000 руб.

4. Некто не доверяет банкам  и хранит сбережения дома. Крупная  премия пролежала дома до лета. За это время цены на товары  выросли в среднем на 50 %. На  сколько процентов уменьшилась  покупательская способность отложенных  денег?

Ответ: на %.

5. Какой должен быть первоначальный  капитал, чтобы при начислении 5 % в месяц получить через полгода 10 тыс. руб.

Ответ: 7463 р.

 

 

Занятие №15- 16

Игра-путешествие «Старинные задачи через века и страны»

 Цели и задачи:

Показать учащимся развитие математической мысли с древнейших времен, уточнить и систематизировать разрозненные сведения по истории математики.

Развивать продуктивное, логическое мышление учеников, умение применять свои знания в нестандартной ситуации.

Формировать интерес к математике, любознательность и желание самостоятельно пополнять свои знания.

Оборудование: Для проведения мероприятия необходимо иметь локальную компьютерную сеть, в которой размещена презентация.

Правила игры:

В игре участвуют несколько команд.

Каждая команда обеспечена 1-2 компьютерами.

По сигналу о начале игры команды «отправляются в путешествие» по любому из предложенных маршрутов (открыть слайд 3 в презентации и нажать соответствующую выбранному маршруту кнопку).

В течение 30 минут команды произвольно переходят от одной условной станции к другой, стараясь решить максимальное количество предложенных задач и познакомиться с историческим материалом.

По сигналу об окончании игры команды сдают жюри свои решения.

В течение 10 минут жюри подводит итоги, начисляет баллы за решенные задачи и определяет победителей и призеров.

Команды в это время выполняют тест, содержание которого отражает сведения из истории математики, полученные в процессе путешествия. В это же время они могут открыть страницу с ответами, подсказками, решениями всех задач.

Итог игры подводится окончательно по общей сумме баллов за задачи и тест.

Содержание игры.

Маршруты путешествия:

Древний Египет.

Вавилон.

Древняя Греция.

Китай.

Индия.

Страны Ислама.

Страны Европы.

Россия.

Презентация

1. Древний Египет.

Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это так называемый папирус XVIII-XVII вв. до н. э. Ахмеса.

Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был признан богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотеп.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах. Еще 4 тыс. лет назад они решали практические задачи по арифметике, алгебре и геометрии, причем в арифметике пользовались не только целыми числами, но и дробями.

Задачи из папируса Ахмеса.

1. У семи  лиц по семи кошек, каждая кошка  съедает по семи мышей, каждая  мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти  по семи мер ячменя. Как велики  числа этого ряда и их сумма?

2. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если  разность между количеством хлеба  у каждого человека и ему  предшествующего составляет 1/8 меры.

3. Найти  приближенное значение для числа, приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

2. Вавилон.

В Древнем Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские памятники в виде глиняных плиток с клинописными надписями хранятся в различных музеях мира.

Вавилоняне были основоположниками астрономии, создали шестидесятиричную систему счисления, решали уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третей степени при помощи специальных таблиц

Задачи Древнего Вавилона

4. Задача  на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.)

Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?

5. Задача  о вычислении числа 

За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для , которым пользовались вавилоняне.

6. Задача  о шесте

Найти длину шеста, сначала вертикально прислоненного к стене, затем смещенного так, что его верхний конец опустился на 3 локтя, причем нижний конец отступил от стены на 9 локтей.

7. Задача  о делении прямого угла

Разделить прямой угол на три равные части.

3.Древняя Греция.

Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI-V вв. до н. э.

Задачи Древней Греции

Задачи Пифагора

Первое построение геометрии как дедуктивной науки принадлежит Пифагору Самосскому (ок. 570 -500 г. до н. э.) – древнегреческому математику и философу.

8. Всякое  нечетное число, кроме единицы, есть  разность двух квадратов.

9. Разрезать  крест на четыре части и  сложить из получившихся частей  квадрат (рисунок 1).

10. Задача  «Суд Париса»

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее, высказав следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная.

Афина. Афродита не самая прекрасная.

Гера. Я самая прекрасная.

Афродита. Гера не самая прекрасная

Афина. Я самая прекрасная.

Все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Кто прекраснее из богинь.

11. Задачи  Евклида

В III в. до н.э. в трудах знаменитого математика Евклида, написавшего 13 книг под общим названием «Начала», древнегреческая геометрия достигла своего апогея.

На данном отрезке АВ построить равносторонний треугольник.

Разделить произвольный угол на две равные части.

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. 
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. 
Это подметивший мул обратился к попутчику с речью: 
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, как будто девчонка? 
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, 
Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». 
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

12. Задачи  Архимеда

Древнегреческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг до н. э.) – математик, механик и астроном.

Доказать, что площадь круга, описанного около квадрата , вдвое больше площади вписанного в квадрат круга.

Найти сумму квадратов n первых чисел натурального ряда.

4. Китай.

Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II тыс. до н. э.

Среди важнейших достижений китайской математики отметим: правило двух ложных положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и извлечение корней любой степени.

Задачи древнего Китая

13. Задача  Ло-шу

Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15

Задача Сунь-цзы (III-IV вв.)

Имеются вещи, число их не известно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.

15. Задача  Чжан Цюцзяня (V в.)

1 петух  стоит 5 цяней, 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

16. Задача  Цзу Чун-Чжи

Найти наилучшую обыкновенную дробь к числу, если

3,1415926< < 3,1415927

5. Индия.

Творчество индийских математиков оказало огромное влияние на развитие арифметики (индийская десятичная позиционная нумерация), алгебры (метод рассеивания для неопределенных уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными) и тригонометрии (бесконечные ряды для синуса, косинуса и арктангенса).