Контрольная работа по «Математике»

МАТЕМАТИКА – часть 4 (контрольная работа)

 

Задание 1.

Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго цеха. При этом материал 1-го цеха имеет 10% брака, а материал 2-го цеха - 20% брака. Найти вероятность того, что одна, взятая наудачу болванка, не имеет дефектов. 

 

РЕШЕНИЕ.

Пусть событие B – взятая наудачу болванка не имеет дефектов.

Гипотеза A1 – деталь взята из 1-го цеха. P (A1) =0, 7 (70% - 0, 7)

Гипотеза A2 – болванка взята из 2-го цеха. P (A2) =0, 3 (30% - 0, 3)

Вероятность (условная), что болванка не имеет дефектов, если она взята из 1-го цеха: P (B/A1)=1-0,1=0,9

Вероятность того, что болванка не имеет дефектов, если она взята из 2-го цеха: P (B/A2) =1-0, 2=0, 8

Тогда по формуле полной вероятности

 

P (B) =P (B/A1)*P (A1) +P (B/A2)*P (A2)

P (B) =0, 9*0, 7+0, 8*0, 3=0, 63+0, 24=0, 87

 

Ответ: Вероятность того, что наудачу взятая болванка не будет иметь дефектов:

 P (B) =0, 87.

 

 

 

Задание 2.

В турнире встречаются 10 шахматистов, имеющие одинаковые шансы на любой исход в каждой встрече (только одной для каждых двух участников). Найти вероятность того, что какой-либо один из участников проведет все встречи с выигрышем.

 

РЕШЕНИЕ.

Т.к. каждый из участников может сыграть только по одной партии с каждым из партнеров, то каждый участник должен сыграть 9 партий. Вероятность выигрыша в партии: p = , т.к. участники имеют равные шансы на исход. Вероятность того, что какой-нибудь участник выиграет все партии:  P (A) = 0,002

Ответ:  p= 0,002.

 

 

 

Задание 3.

Вероятность появления события A в отдельном испытании равна 0.75. Какова вероятность того, что при восьмикратном повторении испытания это событие появится более 6 раз?

 

РЕШЕНИЕ.

 

P=0, 75

 

Т.к. производится 8 испытаний, то «более 6» означает, что событие появится либо

7, либо 8 раз.

 

P (m 6) = +

 

 – по формуле  Бернулли

 

= * * , где q=1-p, n – число испытаний, m – число появлений события A.

 

= * * = *

 

= = 8

 

= * =

 

= 1

 

(m 6) = * 0,25 + = (0,25+0,75) = 0,1335

 

Ответ: (m 6) = 0,1335

 

Задание 4.

Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0.25 ц.

 

РЕШЕНИЕ.

 

P = , где

 

- средняя урожайность  по всему полю;

- средняя выборочная  урожайность;

- предельная ошибка выборки;

 – средняя квадратичная  ошибка.

 

= 0, 25 (ц)

 

= 6

= = (для повторной выборки), или = ,(для бесповторной выборки)

 

где n – объем выборки; N – объем генеральной совокупности.

 

  0, 0577 или 0,0577

 

 

 

 Результаты практически одинаковы, т.к. объем выборки велик.

 

t =;      t =   4,333

 

 

 

Ответ: Вероятность того, что средняя выборочная урожайность отличается от урожайности по всему полю не более чем на 0,25 ц = 0,9999

 

Среднее квадратичное отклонение дано по каждому гектару.

= 6 – дисперсия  по каждому гектару, тогда дисперсия  по 1 кв. метру:

   = 0,0006

 

Можно перевести все площади в гектары:

 

= 5,774 или  = 5,773

 

t = = = 0,044

 

 

Ответ: Вероятность того, что средняя выборочная урожайность отмечается от урожайности по всему полю не более, чем на 0,25 ц = 0,035.

 

 

 

Задание 5.

Из партии 4000 деталей на выборку проверены 500. При этом оказалось 3% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке менее, чем на 1 %.

 

РЕШЕНИЕ.

Выборочная доля      w = 0,03

Доля нестандартных деталей во всей партии – p

 

P =

 

Средняя квадратичная ошибка  при бесповторной выборке равна:

        = 0, 0076

 

 

При повторной выборке:

 

 

 

 

 

 

= = = 1,316

 

 

= =1,401

 

= = 0,810

= = 0,838

 

Ответ: Вероятность того, что общая доля нестандартных деталей отличается от выборочной доли менее чем на 1% равна 0,8.

 

 

 

 

 

 

 

Выборочная доля      w = 0,03

Доля нестандартных деталей во всей партии – p

P(|p-0,03|  <0,01) = φ (0,01/μ)

Средняя квадратичная ошибка  μ при бесповторной выборке равна:

 μ= √((w*(1-w))/n)       μ= √((0,03*0,97)/500) = 0, 0076

 

При повторной выборке:

μ= √((0,03*0,97)/500*(1-500/4000)=≈0,00714)

t_1=0,01/μ = 0,01/0,0076 = ≈  1,316

t_2= 0,01/0,00714 =≈1,401

P_1= φ(1,316) = 0,810

P_2= φ(1,401) = 0,838

Ответ: Вероятность того, что общая доля нестандартных деталей отличается от выборочной доли менее чем на 1% равна 0,8.

 

 

 

 

 

 

Задание 6.

Три товарища договорились встретиться. Первый из них никогда не опаздывает, но предупредил, что сможет прийти на встречу с вероятностью 0.9. Второй опоздает с вероятностью 0.2, а третий обычно опаздывает с вероятностью 0.4. Какова вероятность того, что к назначенному сроку (без опоздания) встретятся хотя бы двое из троих друзей?  

 

РЕШЕНИЕ:

Пусть событие  – первый придет на встречу (без опоздания, т.к. никогда не опаздывает),

 

P = 0, 9     P = 0, 1

 

 

 – первый  не придет к назначенному сроку.

 

Событие – второй придет без опоздания.

 

P = 0, 8     P = 0, 2

 

Событие - третий придет без опоздания.

 

P = 0,6      P = 0,4

 

Хотя бы два товарища встретятся, если придут только двое, а третий не придет или когда придут все три товарища.

Пусть искомое событие  B.

 

B = + + +

 

P(B) = 0,9*0,8*0,4+0,9*0,2*0,6+0,1*0,8*0,6+0,9*0,8*0,6 = 0,876

 

Второй способ:

 

Событие B – противоположно событию  – придет либо только один, либо никто не придет вовремя.

P (B) = 1-P ()

 

= + + +

 

P () = 0,9*0,2*0,4+0,1*0,8*0,4+0,1*0,2*0,6+0,1*0,2*0,4=0,124

 

P (B) = 1 – 0,124=0,876

Ответ: вероятность того, что хотя бы два товарища встретятся, равна 0,876.

Задание 7.

Вероятность появления события А в каждом из 12 повторных независимых испытаний Р (А)=р=0.75. Определите среднее значение и дисперсию случайной величины числа появлений события А в 12 независимых повторных испытаниях.

 

РЕШЕНИЕ:

 

Случайная величина Х – число появлений события А в серии из 12 испытаний – распределена по биномиальному закону:

 

α = MX – среднее число появлений события А (математическое ожидание)

 

α = np=12*0.75=9

 

ϭ= DX – дисперсия случайной величины

 

DX = npq=12*0.75*(1-0.75) =2.25

 

 

Ответ: а=9; = DX = 2.25

 

Задание 8.

При каком числе n независимых испытаний вероятность выполнения неравенства ...,

где m – число появлений события А в этих n испытаниях, превысит 0.9, если вероятность появления события А в отдельном испытании р=0.7? 

 

 

 РЕШЕНИЕ:

По следствию из теоремы Чебышева:

 

Условие p равносильно неравенству

Отсюда:

 – по условию          p=0.7;  q=0.3

 

Ответ: Начиная с 53 испытания неравенство будет выполнятся с вероятностью, превышающей 0,9, т.е. .