Комплексный анализ хозяйственной деятельности предприятия

3) в корреляционную модель  линейного типа не рекомендуется  включать факторы, связь которых  с результативным показателем  носит криволинейный характер;

4) не рекомендуется включать  в корреляционную модель взаимосвязанные  факторы. Если парный коэффициент  корреляции между двумя факторами  больше 0,85, то по правилам корреляционного  анализа один из них необходимо  исключить, иначе это приведёт  к искажению результатов анализа;

5) нельзя включать в  корреляционную модель факторы,  связь которых с результативным  показателем носит функциональный  характер.

Большую помощь при отборе факторов для корреляционной модели оказывают аналитические группировки, способ сравнения параллельных и  динамических рядов, линейные графики. С их помощью можно определить наличие, направление и форму  зависимости между изучаемыми показателями. Отбор факторов можно производить  также в процессе решения задачи корреляционного анализа на основе оценки их значимости по критерию Стьюдента, о котором будет сказано ниже.

На втором этапе собирается исходная информация по каждому факторному и результативному показателю. Она  должна быть проверена на достоверность, на однородность и на соответствие закону нормального распределения.

В первую очередь необходимо убедиться в достоверности информации, насколько она соответствует  объективной действительности. Использование  недостоверной, неточной информации приведёт к неточным результатам анализа  и к неправильным выводам.

Одно из условий корреляционного  анализа – однородность исследуемой  информации относительно распределения  её около среднего уровня. Если в  совокупности имеются группы объектов, которые значительно отличаются от среднего уровня, то это говорит  о неоднородности исходной информации.

Критерием однородности информации служат среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, которые  рассчитываются по каждому факторному и результативному показателю.

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение индивидуальных значений от среднеарифметической. Оно  определяется по формуле:

σ =.

Коэффициент вариации показывает относительную меру отклонения отдельных  значений от среднеарифметической. Для  его расчёта используется формула:

V= •100.

Чем больше коэффициент вариации, тем относительно больший разброс  и меньшая выравненность изучаемых  объектов. Изменчивость вариационного  ряда принято считать незначительной, если вариация не превышает 10%, средней  – если вариация составляет 33%. Если же вариация выше 33%, то это свидетельствует  о неоднородности информации и о  необходимости исключения нетипичных наблюдений, которые обычно бывают в первых и последних ранжированных  рядах выборки.

Следующее требование к исходной информации – подчинение её закону нормального распределения. Для  количественной оценки степени отклонения информации от нормального распределения  служат отношение показателя асимметрии к её ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.

Показатель асимметрии (А) и его ошибка (m ) рассчитываются по следующим формулам:

А=; m =.

Показатель эксцесса (Е) и  его ошибка (m ) рассчитываются следующим  образом:

Е =; m =.

В симметричном распределении  А=0. Отклонение от нуля указывает на наличие асимметрии в распределении  данных около средней величины. Отрицательная  асимметрия свидетельствует о том, что преобладают данные с большими значениями, а с меньшими значениями встречаются значительно реже. Положительная  асимметрия показывает, что чаще встречаются  данные с небольшими значениями.

В нормальном распределении  показатель эксцесса Е=0. Если Е>0, то данные густо сгруппированы около средней, образуя островершинность. Если Е<0, то кривая распределения будет плосковершинной. Однако когда отношения А/ m и Е/ m меньше 3, то асимметрия и эксцесс  н е имеют существенного значения и исследуемая информация соответствует  закону нормального распределения. Следовательно, её можно использовать для корреляционного анализа.

На третьем этапе изучается  характер и моделируется связь между  факторными и результативными показателями, т.е. подбирается и обосновывается математическое уравнение, которое  наиболее точно выражает сущность исследуемой  зависимости. Для его обоснования  используются те же приёмы, что и  для установления наличия связи: аналитические группировки, линейные графики и др.

Зависимость результативного  показателя от определяющих его факторов можно выразить уравнением парной и  множественной регрессии. При прямолинейной  форме они имеют следующий  вид:

уравнение парной регрессии:

Y = a+bx;

уравнение множественной  регрессии:

Y = a+b x + b x + …b x,

где а – свободный член уравнения при х=0;

x, x, … x – факторы, определяющие  уровень изучаемого

результативного показателя;

b, b, … b – коэффициенты  регрессии при факторных показателях,

характеризующие уровень  влияния каждого фактора на

результативный показатель в абсолютном выражении.

Если связь между результативными  и факторными показателями носит  криволинейный характер, то могут  быть использованы степенная, логарифмическая, параболическая, гиперболическая и  другие функции.

В случаях когда трудно обосновать форму зависимости, решение  задачи можно провести по разным моделям  и сравнить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим  зависимостям проверяется по критерию Фишера, показателю средней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффициента детерминации, о которых  речь пойдёт позже.

На четвёртом этапе  проводится расчёт основных показателей  связи корреляционного анализа: уравнения связи, коэффициентов  корреляции, детерминации, эластичности и др.

В качестве примера для  иллюстрации корреляционного анализа  прямолинейной зависимости используем приведённые в табл. 3.4. данные об изменении уровня выработки рабочих (Y) в зависимости от уровня фондовооружённости труда (х)

Расчёт уравнения связи (Y = a + bx) сводится к определению параметров a и b. Их находят из следующей системы  уравнений:

где n –число наблюдений (в  данном примере 10);

х – фондовооружённость труда (стоимость основных производственных фондов

на одного работника предприятия), тыс. руб.;

у – среднегодовая выработка  продукции одним работником, тыс. руб.

Значения рассчитывают на основании фактических исходных данных (табл. 4.3.).

Подставим полученные значения в систему уравнения:

Умножив все члены первого  уравнения на 4, получим:

Вычтя из второго уравнения  первое, узнаем, что 2,76b = 3,45.

а =

Уравнение связи, описывающее  зависимость производительности труда  от его фондовооружённости, получило следующее выражение:

Y = 0,4 + 1,25х.

Коэффициент а – постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. Параметр b показывает среднее изменение результативного  показателя с повышением или понижением величины факторного показателя на единицу  его измерения. В данном примере  с увеличением фондовооружённости труда на 1 тыс. руб. выработка рабочих  повышается в среднем на 1,25 тыс. руб.

Подставив в уравнение  регрессии соответствующие значения х, можно определить выравненные (теоретические) значения результативного показателя (Y ) для каждого предприятия. Например, чтобы рассчитать выработку рабочих  на первом предприятии, где фондовооружённость труда равна 3,1 тыс. руб., необходимо это значение подставить в уравнение  связи:

Y = 0,4 + 1,25•3,1 = 4,28.

Полученная величина показывает, какой была бы выработка рабочих  при фондовооружённости труда 3,1 тыс. руб., если бы данное предприятие использовало свои производственные мощности в такой  степени, как в среднем все  предприятия этой выборки. Фактическая  выработка рабочих на данном предприятии  выше расчётного значения. Следовательно, предприятие использует свои производственные мощности несколько лучше, чем в  среднем по отрасли. Аналогичные  расчёты сделаны для каждого  предприятия. Данные приведены в  последней графе табл. 4.3. Сравнение  фактического уровня выработки рабочих  с расчётным позволяет оценить  результаты работы отдельных предприятий.

По такому же принципу решается уравнение связи при криволинейной  зависимости между изучаемыми явлениями. Когда при увеличении одного показателя значения другого возрастают до определённого  уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для описания такой зависимости  лучше всего подходит парабола второго  порядка:

Y = a+bx+cx.

В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для  определения параметров a,b и с  необходимо решить следующую систему  уравнений:

Кроме параболы для описания криволинейной зависимости в  корреляционном анализе очень часто  используется гипербола:

Y = a+.

Для определения её параметров необходимо решить следующую систему  уравнений:

Гипербола описывает такую  зависимость между двумя показателями, когда при увеличении одной переменной значения другой увеличиваются до определённого  уровня, а потом прирост замедляется, например зависимость урожайности  от количества внесённого удобрения, продуктивности животных от уровня их кормления, себестоимости  единицы продукции от объёма её производства и т.д.

При более сложном характере  зависимости между изучаемыми явлениями  используются более сложные параболы (третьего, четвёртого порядка и  т.д.), а также квадратические, степенные, показательные и другие функции.

Таким образом, используя  тот или иной тип математического  уравнения, можно определить степень  зависимости между изучаемыми явлениями, узнать, на сколько единиц в абсолютном измерении изменяется величина результативного  показателя с изменением факторного на единицу. Однако регрессионный анализ не даёт ответа на вопрос: насколько  тесна эта связь, решающее или  второстепенное воздействие оказывает  данный фактор на величину результативного  показателя?

Для измерения тесноты  связи между факторными и результативными  показателями исчисляется коэффициент  корреляции. При прямолинейной форме  связи между изучаемыми показателями он рассчитывается по следующей формуле:

r = = = 0,97.

Подставив значения и из табл. 4.3. в формулу, получим значение коэффициента корреляции, равное 0,97. Этот коэффициент может принимать  значения от 0 до 1. Чем ближе его  величина к единице, тем более  тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. В данном случае величина коэффициента корреляции является существенной (r=0,97). Это позволяет сделать вывод  о том, что фондовооруженность –  один из основных факторов, от которых  на анализируемых предприятиях зависит  уровень производительности труда.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент  детерминации (d=0,94). Он показывает, что  производительность труда на 94% зависит  от фондовооружённости труда, а на долю других факторов приходится 6% изменения  её уровня.

Что касается измерения тесноты  связи при криволинейной форме  зависимости, то здесь используется не линейный коэффициент корреляции, а корреляционное отношение, формула  которого имеет следующий вид:

, где; =

Эта формула является универсальной. Её можно применять для исчисления коэффициента корреляции при любой  форме зависимости. Однако для его  нахождения требуется предварительное  решение уравнения регрессии  и расчёт по нему теоретических (выравненных) значений результативного показателя для каждого наблюдения исследуемой  выборки (табл. 4.3. гр.7).

Решение задач многофакторного  корреляционного анализа производится на ПЭВМ по типовым программам. Сначала  формируется матрица исходных данных, в первой графе которой записывается порядковый номер наблюдения, во второй – величина результативного показателя (Y ), а в следующих – данные по факторным показателям (х ). Эти  сведения вводятся в ПЭВМ, и рассчитывается уравнение множественной регрессии, которое в нашей задаче получило следующее выражение:

Y =0,49+3,65х +0,09х +1,05х -0,122х  +0,052х,

где Y – рентабельность продаж, %;

х – материалоотдача, руб.;

х – фондоотдача, коп.;

х – производительность труда (среднегодовая выработка  продукции на одного

работника), тыс. руб.;

х – продолжительность  оборота оборотных средств предприятия, дни;

х – удельный вес продукции  высшей категории качества, %.

Коэффициенты уравнения  показывают количественное влияние  каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В данном случае можно дать следующую  интерпретацию полученному уравнению: рентабельность повышается на 3,65% при  увеличении материалоотдачи на 1 руб.; на 0,09% – с ростом фондоотдачи  на 1 коп.; на 1,02% – с повышением среднегодовой  выработки продукции на одного работника  на 1 тыс. руб.; на 0,052% – при увеличении удельного веса продукции высшей категории качества на 1%. С увеличением  продолжительности оборота средств  на 1 день рентабельность снижается  в среднем на 0,122%.

Пятый этап – статистическая оценка и практическое использование  результатов корреляционного анализа.

Для того чтобы убедиться  в надёжности показателей связи  и правомерности их использования  для практической цели, необходимо дать им статистическую оценку. Для  этого используются критерий Стьюдента (t), критерий Фишера (F-отношение), средняя  ошибка аппроксимации ( ), коэффициенты множественной корреляции (R0 и детерминации (D).

Надёжность коэффициентов  корреляции, которая зависит от объёма исследуемой выборки данных, проверяется  по критерию Стьюдента:

t =, где =.

Если расчётное значение t выше табличного, то можно сделать  заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличные  значения t находят по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитываются  количество степеней свободы (V=n-1) и  уровень вероятности (в экономических  расчётах обычно 0,05 или 0,01).

Надёжность уравнения  связи оценивается с помощью  критерия Фишера, расчётная величина которого сравнивается с табличным  значением. Если F >F, то н=гипотеза об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается.

Для оценки точности уравнения  связи рассчитывается средняя ошибка аппроксимации. Чем меньше теоретическая  линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпирической), тем меньше её величина, а это  свидетельствует о правильности подбора формы уравнения связи. В нашем примере она составляет 0,0361, или 3,64%. Учитывая, что в экономических  расчётах допускаемая погрешность  находится в пределах 5-8%, можно  сделать вывод, что исследуемое  уравнение связи довольно точно  описывает изучаемые зависимости. С такой же небольшой погрешностью будет делаться и прогноз уровня рентабельности по данному уравнению.