Лекции по "Логике"

     Отношения   между    сложными   суждениями.    При   анализе структуры  сложных  суждений   принимаются  во   внимание  логические   связи   между   простыми  суждениями,   выступающими  в  качестве  их  составляющих.  Тем  самым сравнимость  или несравнимость  сложных  суждений  зависит  от  наличия  общих  составляющих.  Если  два  сложных  суждения  обозначить символами  Р и Q,  то  сравнимы  они  будут  лишь  в  том случае,  если имеется  хотя бы одно простое суждение n, которое содержится как в Р, так  и  в Q.  Например, Р  содержит суждения,  обозначенные символами  р, q, n; Q содержит суждения s, t, n. В этом случае Р и Q  рассматриваются как сравнимые.                                                    

     Два сложных суждения М и N считаются несравнимыми,  если  они  не  имеют  хотя бы  одной общей  составляющей. Например,  М  содержит  r,  s,  n,  а  N содержит  р, q,  t. Такие   сложные суждения рассматриваются как несравнимые.                                

     Среди сравнимых сложных высказываний различают совместимые и несовместимые.                                                      

     Совместимость   сложных   суждений   определяется  наличием  хотя  бы  одного  случая  их  истинности  при  одинаковых значениях  (истинности  или ложности)  их составляющих.  Так, условия  истинности  двух  сложных  суждений  Р и  Q, где  Р представляет  собой конъюнкцию двух  простых -  m  n, а  Q -  дизъюнкцию тех  же суждений m V n, показаны на таблице (таб. 8).                                

     Из таблицы видно, что при одних  и тех  же значениях  составляющих (m,n) в 1-й строке Р и Q одновременно принимают значение  “истинно”. Тем  самым Р  и Q  являются совместимыми высказываниями.                                       

                               P         Q

таблица 8                                                         таблица 9

      Совместимость  сложных  суждений  также бывает  трех видов:   эквивалентность, подчинение, частичная совместимость.         

      Эквивалентными являются  такие сложные  суждения, которые   принимают  одинаковые значения  при одних  и тех  же значениях   составляющих.  В  таблице  сложные суждения  Р и  Q принимают   одинаковые значения (таб. 9).

Первая строка в схеме  показывает, что  Р и  Q одновременно   принимают  значение  и,  четвертая  - значение  л. Зачеркнутые   строки  (2-я  и 3-я)  показывают те  значения, какие  не могут   принимать  эквивалентные  высказывания.   Символически  эквивалентность обозначают знаком   (например, Р  Q).        

      Отношение  эквивалентности  позволяет  выражать  одни сложные  высказывания  через  другие  - конъюнктивные  через дизъюнктивные  или  импликативные,  и наоборот.  Такие эквивалентности строятся с помощью отрицания. Приведем  наиболее известные в логике отношения эквивалентности.                       

      (1) Выражение конъюнкции через дизъюнкцию    V , которое читается:  отрицание конъюнкции  эквивалентно дизъюнкции отрицаний.                                                

      (2)  Выражение  дизъюнкции  через  конъюнкцию         , которое читается: отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний.                                         

Эти две эквивалентности получили в логике название законов  де Моргана.                                                   

      (3)  Выражение  импликации  через  конъюнкцию  р  q    р  , которое читается: импликация  эквивалента отрицанию   конъюнкции антецедента и ложного консеквента.                

      (4)  Выражение  импликации  через  дизъюнкцию  р    q    V q, которое читается: импликация  эквивалентна дизъюнкции ложного антецедента и консеквента.                        

таблица 10                                                                                                таблица 11

В качестве примера  продемонстрируем на  таблице зквивалентность выражений:  V (таб. 10).                

    Эквивалентность   двух   последних   выражений   на  таблице определяется тем; что при одних и тех же  значениях переменных оба они в 1-й строке принимают значение л, а в остальных - u.

    Отношение    подчинения   между    сложными   высказываниями имеет  место тогда,  когда при  истинности подчиняющего  Р подчиненное  Q всегда  будет истинным.  В таблице  значения Р  и Q будут следующими (таб. 11).                                  

    Во всех случаях истинности Р (1-я строка) Q также является истинным.  Случаи  ложности  Р  (3-я и  4- строки)  в расчет не   принимаются,   поскольку   отношения   между  суждениями устанавливаются  лишь  с  учетом  их   истинностной  характеристики.                                                    

    Поскольку  отношение  подчинения  позволяет  по  истинности подчиняющего  суждения  определять   истинность  подчиненного, тем самым оно составляет основу логических переходов  от одних суждений  к  другим. Такие  логические переходы  от истинности подчиняющего  к  истинности  подчиненного   суждения  называют логическим   следованием   и  обозначают   знаком .  Например: Р Q, которое читается: из Р логически следует Q.            

    Истинностные  значения  суждений,  находящихся  в отношении подчинения, как и  логическое следование,  адекватно выражаются знаком импликации: Р  Q, или Р  Q.                    

таблица 12                                               таблица 13

    Примером  отношения   подчинения,  или   следования,  может служить отношение между высказываниями: р  q  и р.  На таблице  их  значения распределяются  следующим образом  (таб. 12).

    Поскольку во всех случаях истинности р   q (1-я  строка) р также истинно, значит, первое суждение подчиняет  себе второе, т. е. (р  q)  р, или (р  q) р.

Отношение  частичной совместимости  проявляется в  том, что два  сложных  высказывания  наряду  с истинностью  принимают и несовпадающие  значения  -  одно  истинно,  другое   ложно,  и наоборот,- но не  могут быть  вместе ложными.  В таблице (таб. 13) 1-я строка  показывает их  одновременную истинность,  2-я и  3-я - несовпадающие  их значения,  4-я строка  зачеркнута, поскольку частично совместимые Р и Q не могут быть вместе ложными.     

    Несовместимость   между   сложными   высказываниями  проявляется в том, что они одновременно не могут принимать значение истинности.  Существует  два вида  логической несовместимости: противоположность и противоречивость.                        

    Противоположными   являются   высказывания,   которые   не могут быть вместе истинными, но могут быть  вместе ложными. На таблице видно, что одновременная истинность Р и Q исключается - 1-я  строка зачеркнута.  Оба высказывания  могут принимать  несовпадающие значения  u и  л (2-я  и 3-я  строки). Оба высказывания  могут  быть  одновременно ложными  (4-я строка). Это значит, что при ложности одного из  противоположных высказываний мы не можем установить значения другого,  оно остается неопределенным  и  в  зависимости  от  конкретного  содержания суждений может быть как истинным, так и ложным (таб. 14).

таблица 14                  таблица 15

    Противоречие  между  двумя  высказываниями  проявляется  в том, что вместе они не могут быть  ни истинными,  ни ложными. При  истинности  одного другое  является ложным;  при ложности первого второе будет истинным.                              

      Вычеркнутые  в таблице 15 1-я и 4-я строки показывают, что Р и Q могут принимать лишь альтернативные значения.         

    Одним  из  способов получения  для каждого  сложного суждения  противоречащего   ему  высказывания   является  отрицание исходного  суждения.  Так, для  Р  противоречием будет  ; для конъюнкции  Р  Q  противоречием  будет  ее  отрицание  - 

Отчетливое   представление    об   истинностных    отношениях   между высказываниями  позволяет   логически  грамотно   анализировать  различные  суждения  по  одному  и тому  же вопросу  в дискуссиях  и полемике. Встречаются  ситуации,  когда  логический  анализ  различных  по  структуре  суждений  приводит  к  тому,  что  они  оказываются  совместимыми. Так  нередко  случается с  частными суждениями  - утвердительными  и отрицательными (I и O). Пропонент  утверждает, что  “Некоторые S  есть Р”; оппонент упорно настаивает, что “Некоторые S не есть  Р”. На  поверку же выходит, что эти суждения не исключают друг  друга, а  являются частично совместимыми и оба могут оказаться истинными.                          

   Обобщенная таблица отношений между сложными высказываниями имеет следующий вид (схема 1).

    В  спорах  и  дискуссиях  могут  смешиваться противоречащие  и противоположные  суждения.  Например,  обвинитель  утверждает,  что   в  рассматриваемом  случае  имело  место   убийство  (р),   которое  совершено умышленно  (q).  Защитник не  отрицает факта  убийства (р),  но считает, что  оно  было  совершено  без умысла  (). Каждый  из них  считает, что утверждения  р  q  и  р    исключают  друг  друга  как  альтернативные.

      В действительности же оказывается, что эти высказывания находятся  в отношении противоположности.