Краевые задачи для уравнения Лапласа

ПЕНЗЕНСКИЙ  ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ В. Г. БЕЛИНСКОГО

Физико-математический факультет 

Кафедра «Математического анализа» 

  

  

  
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

«Краевые  задачи для уравнения Лапласа» 
 

  

              
 
 

                                                                   

                                                             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Пенза 2010

 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Введение
2. Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
1. Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
2. Корректность краевой задачи.
3. Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
1. Задача Дирихле в пространстве
2. Задача Дирихле на плоскости
3. Задача Неймана
4. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
1. Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения       Лапласа в круге.
2. Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
3. Примеры.
4. Решение задачи Дирихле для кольца.

 
 

       
 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ.

Уравнениями математической физики называются уравнения, описывающие математические модели физических явлений. Среди них процессы, изучаемые в теории упругости, гидродинамике, электродинамике, квантовой физике и т. д. Во многих случаях их изучение приводит к уравнениям с частными производными второго порядка.

Дифференциальным  уравнением  с  частными  производными (в частных производных)  называется  уравнение,  связывающее   функцию  , независимые переменные   и частные производные от функции , то есть соотношение

,                                                              (1)

где известная функция и .

При этом предполагается, что в области, где рассматривается данное уравнение, функция имеет частные производные порядка

Порядок старшей из частных производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Например, уравнение второго порядка для функции, имеющей непрерывные частные производные второго порядка, в общем случае может быть записано в виде 

.

Уравнение (1) называется линейным, если данное уравнение  линейно относительно этой функции  и ее производных.

Решением  уравнения (1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в указанное уравнение, обращает его в тождество по всем переменным.

Для полного  описания физических процессов помимо уравнений необходимо указать некоторые дополнительные условия. В частности, может быть задана картина процесса в фиксированный момент времени, т.е. начальные условия. Кроме того, задают значения изучаемых величин на границе рассматриваемой области – граничные (или краевые) условия. Дифференциальное уравнение вместе с соответствующими краевыми (и начальными) условиями называется  краевой задачей математической физики.

К основным уравнениям математической физики относятся  следующие дифференциальные уравнения  в частных производных второго  порядка.

1. Волновое уравнение:

.

Это уравнение  является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний  струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

.

Это уравнение  является простейшим уравнением параболического  типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения  тепла, фильтрации жидкости и газа в  пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.

3. Уравнение Лапласа:

.

Это уравнение  относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических  и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

,

уравнение теплопроводности

и уравнение  Лапласа

.

Исключительную  роль в математической физике играет уравнение Лапласа 

 

Для уравнения  Лапласа обычно считают, что необходимо найти функцию  , удовлетворяющую этому уравнению внутри некоторой области , ограниченной поверхностью (кривой) , или вне этой области. Если при этом функция должна удовлетворять краевому условию 

,

то говорят, что  необходимо решить соответственно внутреннюю или внешнюю задачу Дирихле.

Если  краевые условия имеют вид 

,

где есть производная по внешней нормали к границе области , то говорят, что требуется решить задачу Неймана (внутреннюю или внешнюю).

Если  краевые условия записываются в  форме  

 

то это  – третья краевая задача для уравнения  Лапласа.

Здесь M текущая точка границы ; , заданные функции.

Если  какая-то из последних трех функций тождественно равна нулю, то соответствующее условие называется однородным.

Для уравнения  теплопроводности и  волнового уравнения во многих случаях приходится решать так называемую смешанную задачу, то есть задачу с начальными и граничными условиями. Если при этом на  границе пространственной (плоской) области задано значение искомой функции, то говорят, что поставлена первая смешанная задача. 

Если  в качестве краевого условия задано значение производной от искомой функции в направлении внешней нормали к границе, то говорят, что решается вторая смешанная задача. Если задана линейная зависимость между значениями функции на границе и ее производной по нормали, то это – третья смешанная задача. 

Описание  многих физических явлений требует использования интегральных уравнений. Они появляются также при изучении свойств уравнений с частными производными.

 

Понятие краевой  задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа.

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связано с не единственностью решения

дифференциальных  уравнений. Действительно, даже для  обыкновенных д. у. n-го порядка общее решение зависит от n-произвольных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения в классе функций, зависящих от переменных и , имеет вид , где — произвольная функция класса . Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия. Соответствующая задача называется краевой задачей.

Краевые условия (граничные условия)— условия, которым должно удовлетворять искомое решение заданного дифференциального уравнения на границе (или ее части) области, где это решение ищется.

Краевые условия обычно задаются с помощью  дифференциальных операторов, однако встречаются краевые условия и других типов.

Различают, таким образом, следующие три  основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:

1. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область совпадает со всем пространством , граничные условия отсутствуют.
2. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе , начальные условия, естественно, отсутствуют.
3. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные и граничные условия, .

Замечание:

 — область, где происходит  процесс,  — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, есть область изменения аргументов в уравнении, описывающем стационарный процесс – область задания уравнения. 

Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных процессов. Время t в эти уравнения не входит, и обе независимые переменные являются

координатами  точки. Для задач такого типа ставятся только краевые условия, т. е.

указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Для эллиптического уравнения характерно то, что краевые условия задаются на всей границе. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа.

Уравнение Лапласа является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптического типа, на котором вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.

                                                     

 

                                                                                                            

– уравнение Лапласа для случая функций двух независимых переменных.

–уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными, называют оператор Лапласа или лапласиан.

                                                                                                                            
 

Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях.

Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры  в теле.

Действительно, если температура не зависит от времени t,  то и

уравнение теплопроводности , где - коэффициент

теплопроводности, сводится к уравнению Лапласа.  

Применение  уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представление функции как температуры очень удобно и наглядно.