Шпаргалка по "Теории и методике развития математических представлений у детей"

27. Формирование  умения устанавливать взаимооднозначное  соответствие между элементами  м-ва, соответствие между м-вами по количеству входящих элементов практическим путём.

Существуют 6 приемов установления взаимнооднозначного соответствия:

- наложение ( мл.возр.)- приложение (мл.возр.)

- составление пар (мл. –  ср.возр.)- соединение стрелками (ср.возр.)

- использование мн-ва-посредника (ст.возр.)- счет (ср.- ст.возр.)

Наложение. Наглядный материал: карточки с изобр.предметами (3 -5 шт.), расстояние между предметами должно равняться самим предметам, для наложения  даются мелкие предметы, которые должны быть связаны с рисунками по смыслу.

Начинать нужно с проблемной ситуации. «Хватит ли всем бабочкам по цветочку, т.е. поровну ли у нас бабочек и цветочков».

Методика: Воспитатель раскладывает бабочки правой рукой слева направо  точно одну бабочку на один цветочек. Останавливаясь на каждой паре, обращает внимание, что на каждом цветочке сидит одна  бабочка, что между цветочками бабочку не кладем, оставляем пустое место. «У нас бабочек столько же, сколько цветочков, каждой бабочке хватило по цветочку, бабочек и цветочков поровну, одинаковое кол-во. Поровну ли бабочек и цветочков?» После демонстрации приема наложения детям даем упр-я, в кот. они учатся сравнивать 2 группы предметов по кол-ву с пом. этого приема.

Приложение. Исп-ся карточки с двумя полосками. На верхней – предметы, а нижняя – пустая. Для приложения подбираются предметы, кот. подходят по смыслу.

Мет-ка обуч. приему приложения основывается на знании детьми приема наложения. Например, на верхней полоске раскладываем грибочки. Затем создаем ситуацию: на грибочки упали листики. Листики накладываем на грибочки и выясняем: поровну ли их. Затем перетягиваем послед-но каждый листик на нижнюю полоску: «подул ветер».  Под каждым грибочком лежит только один листик. Между листиками - пустые места. «Поровну ли теперь листиков и грибочков? Если под одним грибочком лежит один листик, то грибочков и листиков поровну».

Составление пар. Этот прием аналогичен приложению, но не применяются карточки. Исп-ся предметы, связанные между собой по смыслу. Вначале предметы расставляем в ряд. Например, конфетами  угощаем кукол. В дальнейшем не обязательно в ряд (можно по кругу). Воспитатель выясняет, поровну ли, например, белочек и зайчиков. Для проверки ответа необходимо одну белочку поставить около одного зайчика.

Соединение стрелками. Детям предлагается такая ситуация, в кот.нельзя восп-ся известными им приемами . Если лишних не осталось, то всем хватило.

Использование мн-ва-посредника. Создаем ситуацию, когда нельзя исп-ть известные детям приемы. Например: с одной стороны дет. сада растут деревья, с другой – тоже.  Где растет больше деревьев? Используем мн-во-посредник - камешки. Раскладываем один камешек под одним деревом. Сначала под предметами одного мн-ва, затем под предметами второго мн-ва. Делаем вывод о равенстве или неравенстве предметов по кол-ву.

Каждый из этих приемов даем в два этапа. Сначала формируем  у детей представление об отношении равенства («поровну»), для этого берем равночисленные мн-ва. А на втором этапе формируем представление об отношениях «больше» и «меньше». Понятие «больше» поясняем через слово «лишний», а «меньше» - через «не хватает».

28. Формирование  у детей старшего дошкольного  возраста представлений о м-ве, умения графически обозначить  м-ва и их элементы. Возр. особенности разв. матем. представлений у детей дошк. возр. в соотв. с иссл-ми  А.М. Леушиной.Мн-во предметов и явлений ребенком восприн-ся разл. анализаторами.

1-2 года. К 1-2 годам у детей  накапл-ся представления о мн-ве  однородных предметов, которые отражаются  в пассивной речи детей (построить  домик и домики – единст. и  множ. число).

Затем в активной речи дети начинают использовать множ. и единст. число. На этом этапе мн-во еще не имеет четких границ для ребенка и не воспр-ся элемент за элементом, не осознается колич. сторона мн-ва.

Дети понимают смысл слова «много» и «мало», но эти слова не имеют четкой колич. хар-ки, ассоциируются со словами «большой», «маленький».

2-3 года. Дети воспринимают  мн-во в его границах, умеют  сосредотачивать свое внимание  на границах мн-ва, а четкое  понимание внутр. элементов еще  отсутствует. При наложении предметов  на рисунки дети заполняют  всю часть карточки между крайними  элементами, но не воспринимают  количество. Легче воспринимают  мн-во, если оно расположено линейно, в ряд.

3-4 года. Ребенок становится  более требовательным к однородному  составу мн-ва, т.е. он считает, что мн-во всегда состоит из однородных элементов и что оно конечно. На восприятие мн-ва еще оказывают влияние качественно-пространст. признаки (форма, величина, расстояние между элементами, расположение по-разному в пространстве).

При наложении ведущим для детей является изображение, простран. отношение не играет существенной роли. Прием наложения способствует формир. представлений о мн-ве как структурно-замкнутом целом, состоящим из отдельных эл-тов. Общее кол-во эл-тов при использ. этого приема не определяется. Более трудным является прием приложения. Здесь ребенок должен точно воспроизвести то кол-во элементов, кот. образует данное мн-во. Для этого ребенку надо воспринять не только изображения, но и простые отношения между ними, а это для ребенка трудно.

Уже в дочисловой период ребенок может опознать группу без счета, если она стандартна, постоянна. Вероятно, другие предметы в том же кол-ве ребенок сосчитать еще не сможет.

4-5 лет. На этом этапе  восприятие только однородных  множеств играет отрицательную  роль, поэтому необходимо предлагать  детям производить различ. операции  с мн-ми: составлять единое мн-во из 2-х групп, каждая из кот. обладает своими качеств-ми особ-ми, несущественными для всего мн-ва в целом.

29. Концепция формирования  и развития представлений о  числе в отечественных и зарубежных  философских, психологических и  педагогических теориях.

Автор раздела «Математика» программы «Радуга» Е. Соловьева предлагает рассм-ть число как свойство равночисленных множеств, и предлагает знакомить детей с числом, как с некоторой идеей. Дети знакомятся с мифами о числе, с древними изображениями числа, прослушивают соответ. муз. интервалы, ищут в окр. мире предметы и явления, соответ. каждому числу. Детям  предлагаются театрализ. сказки о каждом числе. Дошк-ки изображают число в продуктивных видах деят-ти.В «Радуге» не показывается связь числа с предыдущим и последующим числом, а также образование каждого числа.

В некот. пособиях (например, Марии Фидлер) предлагается иное изображение числа, отличное от цифр. С помощью палочек Кьюизинера (цветных чисел) возможно формир. представлений о числе как величине. Цветные числа представляют собой полоски или столбики разной длины, разного цвета, причем, и длина, и цвет подобраны не случайным образом.

Единица имеет длину 1 см;  двойка – 2 см; …; десятка – 10 см.

1 – белая; 7 – черная, 2, 4, 8 – голубая, синяя, фиолетовая (кратные 2),

3, 6, 9 – желтые тона (кратные 3), 5, 10 – красная; оранжевая (кратные 5).

С помощью этих палочек дети, не зная цифр, могут научиться всем арифметич. действиям, составляя одно число из других. К сожалению палочки Кьюизинера не разделены на единичные интервалы, и по внешнему виду одной палочки нельзя сразу сказать, какое это число.                                                       

Цветные числа активно используются в программе «Детство».В этих же пособиях рассм-ся такой дидакт.материал, как вертикальные счеты, с пом. кот. число предстает перед детьми и как кол-во, и как величина.

М. Монтессори в свое время предложила следующий дидакт материал для формир. колич. предст.:

- цветные штанги (разделены на единичные отрезки),

- золотой счетный  материал (желтые бусины вразброс (единицы), на стержне по 10 бусин (десятки); в пластину собраны – 10 десятков (сотня); 10 пластин собраны в куб (тысяча)).

Глен Доман предполагает, что дети запоминают с раннего детства любые кол-ва по-разному расположенные в пространстве (с помощью точек и кружочков). Причем дети путем «схватывания» кол-ва могут запоминать все арифм. действия. Предположение основано на идее монографиич. метода (немецкого педагога Грубе, 19 век).

Близка по смыслу идея обучения счету и вычислениям Н.Зайцева.  Он предлагает  по несколько раз в день, систематич. обращать внимание детей на изображения чисел и действий над числами. Педагог проговаривает арифм. действия и просит детей повторить, пропеть. По методике Зайцева важна постоянная опора на наглядность, поэтому в группе на стенах  висят таблицы «Стосчет». Дети до школы могут освоить счет в пределах 100.

Близка к этой методике и точка зрения  Б. Никитина. Для обучения  счету он предлагает   развивающие игры и спец.дидакт.материал (таблица сотни и таблица Пифагора).

Принципы формир. представлений о числе по мнению Никитина следующие:- постоянная наглядность,

- запись чисел и численных  изображений в определенном порядке  и форме,- привитие интереса к  играм «Таблица сотни» и «Таблица  Пифагора» (без механического перечитывания).

Программой «Радуга» предусмотрено  ознак.  детей с действиями умножения и деления. Но предлагается знакомство не с операциями деления и умножения, а с действиями, связанными с увеличением или уменьшением количества конкретных предметов. Предлагается разделить определенное кол-во игрушек между двумя или тремя детьми, или разделить предмет на 2 (или 3) части; увеличить кол-во предметов вдвое, втрое. Такие действия дети могут освоить в 5-6 лет (раздавая по одной конфете).

В прогр. «Радуга» сформ-на задача по ознак. детей с дробными числами. Однако, предлагается лишь обучение делению предмета на равные части и называние этих частей. В методике  Никитина представлена игра «Дроби», с помощью кот. детей можно научить называть и сравнивать части целого и  сформ-ть понимание того, что чем большее число стоит в знаменателе, тем эта часть меньше, чем на большее кол-во частей мы разделим предмет, тем меньше одна часть.

Программой «Радуга» также предусмотрено  знакомство с отрицательными числами и изображение значения этих чисел на числовой прямой.

С отриц. числами дети могут познакомиться опосредованно через измерения темп-ры на термометре.

С целью корректировки встречающихся ошибок (в некоторых программах и пособиях для родителей и воспитателей), следует учитывать следующее:

- В дошк. в-те нельзя  начинать с устных задач, а  необходимо  - с задач-драматизаций, а затем задач-иллюстраций.  В  качестве 2-го слагаемого или вычитаемого  должна быть вначале только 1.  Важно, чтобы дети и воспитатели  не забывали ставить вопрос  в задачах.  Важно следить, чтобы  дети вычисляли, а не вели простое сосчитывание.

- Необходимо помнить, что  результатом операции над числами  является число, а результатом  операции над мн-ми является  мн-во.

Основные идеи колич. и порядковой теорий натур. числа

Колич. теория.

Г. Кантор, XIX в. Основные понятия – мн-во, взаимнооднозначное соответствие.

В том случае, если каждому элементу мн-ва Х соответствует единственный элемент из мн-ва У, то говорят, что между этими мн-ми установлено взаимнооднозначное соответствие.

 Рассмотрим 2 бесконечных  мн-ва:    (1) мн-во натур. чисел 1, 2, 3, 4, 5,…n, …    (2) мн-во четных  натур. чисел  2, 4, 6,…2n, …( подмн-во (1));

Так как ряд четных чисел можно пронумеровать с помощью натур. чисел, то между этими двумя множествами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Если между мн-вом и его некоторым подмн-вом нельзя установить взаимнооднозначное соответствие, то мн-во является конечным. Если между двумя конечными мн-ми можно установить взаимнооднозначное соответствие, то эти множества называются равночисленными.

Отношение «быть равночисленными» на мн-ве всех множеств является рефлексивным, симметричным, транзитивным, а значит, является отношением эквивалентности. Поэтому отношение «быть равночисленным» разбивает мн-во всех множеств на классы. В эти классы попадут самые различные мн-ва. Общее между ними – одинаковое кол-во элементов (в класс «5» - 5 цветов, 5 пальцев).

Натур.числом называют общее св-во класса не пустых, конечных, равночисленных множеств.

Покажем, как операции над числами определяются через операции над множествами.

Обозначим через n(А) кол-во элементов в мн-ве А.

Введем операцию сложения над числами через операцию объединения над множествами.

Суммой чисел a и b называется кол-во элементов в объединении множеств А и В, которое равно

а + b = n(АÈВ) = n(А) + n(В), при условии, что  АÇВ  = Æ.

Порядковая теория натур. числа.

Джузеппе Пеано, XIX в. Осн. понятия: единица (е), операции: непосредственно следовать за, сложение,  умножение.  

В основе теории – аксиомы Пеано, кот. явл. свойствами натур. ряда чисел.

1 аксиома. Единица непосредственно не идет ни за каким натур. числом.

2 аксиома. Любое натур. число непосредственно следует не более, чем за одним натур. числом.

3 аксиома. Если к натур.числу х добавить 1, то получим непосредственно следующее натур. число х`, т.е. х + 1= х`.

4 аксиома. С пом. добавления единицы к натур. числу можно получить весь ряд натур. чисел.