Сцинтилляционные монокристаллы: автоматизированное выращивание

- скорость вращения  образца [196],

- теплоперенос в окружающей  газовой среде [196],

- градиент поверхностного натяжения в жидкой фазе [161, 0],

- отношение осевой и радиальной  составляющих градиента температуры  вблизи фронта кристаллизации [158],

- силы инерции, связанные с течением расплава; капиллярные силы; силы гравитации.

Для скоростей кристаллизации вплоть до 10¸102 см/с влиянием сил инерции, по сравнению с капиллярными силами и силой тяжести, можно пренебречь, поэтому уравнение Навье-Стокса заменяют капиллярным уравнением Лапласа. Геометрические параметры мениска расплава следуют из решения вариационной задачи (минимум суммы поверхностной энергии, свободной энергии и энергии в поле силы тяжести для столба жидкости) [189]. С помощью методов энтальпии и преобразования координат [125] можно получить численное решение задач движения границ "кристалл - расплав" и "газ - расплав". Такое решение используют для изучения тепловых процессов в объеме мениска расплава и прилегающей к нему нижней части вытягиваемого кристалла [214]. Однако численное решение задачи релаксации границы "кристалл - расплав" во время роста МК [174] реально в приближении квазистационарной одномерной модели [0].

Приближенное решение капиллярного уравнения Лапласа имеет наибольшую точность возле фронта кристаллизации и описывает образующую свободной  поверхности осесимметричного мениска расплава. Анализ точности решения в далекой от фронта кристаллизации области (после приведения исходного уравнения Лапласа к модифицированному уравнению Бесселя) показывает, что погрешность приближенного решения зависит от диаметра вытягиваемого кристалла [213]. Более подробный анализ влияния размеров тигля и растущего кристалла на форму фронта кристаллизации возможен с усложнением исходных моделей [174]. Для решения системы термодиффузионных уравнений используют метод [189], который основан на простом физическом предположении, что локальная скорость объемной кристаллизации пропорциональна переохлаждению. В [160] рассмотрена применимость этого метода для решения задачи Стефана при наличии гладкого фронта кристаллизации. Численное решение, полученное методом конечных разностей, определяет форму фронта кристаллизации и геометрические параметры мениска расплава при различных углах роста кристалла.

Формирование заданного типа поверхности  фронта кристаллизации является условием, определяющим примесный состав кристаллов и устойчивость процесса их выращивания. Исследования [0, 0, 0] показали, что бездислокационной части полупроводниковых и ЩГК соответствует плоский и выпуклый (к расплаву) фронт кристаллизации.

Практическое значение имеют работы, направленные на поиск условий выращивания, обеспечивающих заданную форму фронта кристаллизации [0, 0], а также анализ влияния капиллярности мениска расплава на результаты контроля диаметра МК с помощью различных датчиков. Так при контроле диаметра МК весовым методом [73] влияние угла смачивания кристалла расплавом на показания датчика весьма неоднозначно, что объясняет аномальное поведение разностного весового сигнала при выращивании МК с низкими скоростями, а также в случае материалов, расширяющихся при кристаллизации. Значение сигнала весового датчика [147] зависит от поверхностного натяжения мениска расплава (в приближении Бардсли-Херла-Джойса). Влияет капиллярность мениска расплава и на результаты оптического контроля диаметра МК по изменению образующей свободной поверхности мениска расплава [82].

При управлении процессом выращивания  кристаллов по данным измерения уровня расплава форма фронта кристаллизации в значительной степени отображает точность регулирования диаметра кристалла [222, 0, 189].

Таким образом, моделирование межфазных  границ при росте кристалла имеет  самостоятельное значение при исследовании капиллярных свойств мениска расплава, однако включение модели в систему уравнений, характеризующих процесс выращивания СМК, позволяет наиболее адекватно оценить свойства изучаемого объекта управления.

4.1.3. Гидродинамика расплава

Физически обоснованные тепловые условия роста кристаллов и параметры фронта кристаллизации должны сочетаться со скоростными режимами, обеспечивающими стабильность диаметра образца при максимальном оттеснении примесей в жидкую фазу. Эти факторы в той или иной степени взаимосвязаны. С увеличением скорости вращения МК форма фронта кристаллизации изменяется от выпуклой к вогнутой. При этом изменяется характер теплоотвода через твердую фазу, а уменьшение теплоотвода приводит к появлению огранки на боковой поверхности кристалла.

Как известно [0], материальные потоки в объеме расплава при выращивании МК методом Чохральского описывают с использованием моделей конвекции трех видов: свободной (вызванной градиентом плотности расплава из-за разности температур), вынужденной (вращением кристалла) и термокапиллярной (вследствие градиента поверхностного натяжения на свободной поверхности расплава). В [190] к трем основным механизмам конвекции, характерным для выращивании кристаллов по методу Чохральского, отнесена конвекция, вызванная вращением тигля. Вклад термокапиллярного механизма в формирование течения вблизи свободной поверхности расплава полагают наиболее существенным [0]. Влияние изовращения, противовращения и отсутствия вращения кристалла и тигля на конвективные потоки в расплаве подтверждается численным моделированием [0]. Возникновение неоднородного перемешивания и расслоения расплава зависит от соотношения диаметров тигля и кристалла [227].

Моделирование как стационарных, так  и нестационарных явлений переноса в расплаве при выращивании МК осуществляется, как правило, с использованием метода конечных элементов [190, 0, 0]. Основные приближения при расчетах потоков в расплаве определены предположениями о стационарности граничных условий, о двухмерности границы "кристалл - расплав" и свободной поверхности расплава; об отсутствии течений, вызванных линейным перемещением образца [226]. Результаты численного моделирования потоков в расплаве в области, прилегающей к поверхностям раздела "кристалл - расплав" и "расплав - газ", подтверждают, что распределение потоков в расплаве и их количественные характеристики мало отличаются от рассчитанных на основе простой модели, где поверхности раздела представлены как плоские и стационарные [0, 0]. [69]. Учет нестационарности граничных условий дает возможность исследовать переход расплава в режим осциллирующей конвекции [190]. Небольшие колебания теплопереноса от расплава к кристаллу, вызванные гидродинамическими флуктуациями потоков расплава (при условии одномерности теплопроводности в кристалле) описываются периодическими изменениями потока тепла через границу раздела "кристалл – расплав".

Гидродинамические условия в расплаве могут быть изучены на специальных установках с использованием физических моделей тигля (плоскодонный цилиндр) и растущего кристалла (медный диск) [188], в качестве рабочей жидкости при исследовании течения расплава используется вода или смесь воды с глицерином [0]. Такие установки применяют для изучения структуры подкристальной зоны жидкой фазы и характера ее изменения при различных скоростях перемешивания и высоте слоя жидкости [227].

К причинам существенного разброса значений скоростей вытягивания и вращения кристалла на практике и их несоответствия значениям, рассчитанным по модели, относятся методические погрешности, наличие неучтенных факторов процесса выращивания и др.

4.1.4. Распределение примеси

Флуктуации параметров ростовой системы в процессе кристаллизации вызывают изменения концентрации примеси в расплаве [0], появление участков ячеистого роста в растущем кристалле и неоднородность распределения примеси в выращенном образце. К неоднородности распределения примеси в растущем кристалле приводят: колебания температуры в зоне кристаллизации [185], изменения скорости кристаллизации [0], снижение кинематической вязкости расплава [187], искажения формы границы кристалл - расплав [0], нарушения режима течения жидкости в тигле [188], изменения объема кристаллизуемого расплава [234], нелинейные эффекты взаимодействия расплава с граничащими фазами: кристаллом, газовой средой и т.д. [234].

Практический интерес представляет оценка влияния формы границы  кристалл - расплав на распределение примеси в кристалле. Результаты расчетов радиального распределения примеси при неплоской (полином третьей степени) форме фронта кристаллизации с учетом различия начальной концентрации примеси и коэффициента распределения в центре и у боковой поверхности кристалла хорошо согласуются с расчетами осевого распределения в обычном приближении плоского фронта кристаллизации [236]. Для расчета эффективного коэффициента распределения примеси. по длине выращиваемого кристалла используют упрощенную модель [0], в которой пренебрегается параллельным переносом примеси. Экспериментальные исследования подтверждают влияние на форму фронта кристаллизации и, соответственно, на однородность распределения примеси в кристалле режима течения жидкости в тигле [188].

Влияние скорости вращения кристалла  и тепловой конвекции расплава в  тигле на распределение кислорода  в образце определено на основе математической модели, описывающей перенос кислорода в расплаве с учетом измеренных распределений температур на стенках тигля и на поверхности расплава [0].

В [234] условия выращивания равномерно легированного по длине кристалла определены следующим образом:

k+a×F/(vк×S)×(1-Cp/Cст)=(С'/Сст)×(1-А)+А,                       (4.7)

где k - эффективный коэффициент  распределения примеси; Ср, Сст С' - концентрация примеси: в рабочем расплаве (равновесное и стационарное значения) и в подпитывающем материале; А=(Vк-Vп)/Vк - параметр, определяющий динамику подпитки в процессе роста МК (Vp, Vк, Vп - объемы, соответственно, расплава, кристалла и подпитки); a - коэффициент испарения; F - поверхность испарения; S - площадь поперечного сечения кристалла. Управление распределением примеси возможно путем поддержания заданных значений выбранной группы параметров, входящих в соотношение (4.7).

Таким образом, ни один из рассмотренных параметров технологическгго процесса нельзя рассматривать как самостоятельно влияющий на форму и характеристики кристалла. Особенно усложняется выбор эффективного сочетания технологических факторов в случае выращивания МК больших размеров, когда условия массо- и теплопереноса существенно нестабильны, а достижение уровня качества, удовлетворяющего потребителей, является не только технологической задачей, но и весьма сложной проблемой автоматизации [32].

4.2. Моделирование с учетом дополнительных факторов

При практическом применении моделей процесса выращивания МК, в том числе, при решении оптимизационных задач [37, 0] необходимо учитывать последствия их ограниченной адекватности, вызванной естественными причинами. Во-первых, отсутствием в физических моделях исчерпывающего множества параметров, в той или иной степени влияющих на результат. Во-вторых, применением не вполне обоснованных допущений и упрощающих модели предпосылок. В-третьих, ограниченной точностью значений параметров и характеристик, входящих в расчетные модели. И, наконец, недостаточной степенью информированности о ходе протекания ТП. В математических зависимостях, характеризующих объект управления, полагают известными с достаточной степенью точности такие физические константы, как плотность расплава и коэффициент его теплового расширения, поверхностное натяжение, капиллярная постоянная, угол смачивания расплавом материала тигля, а также угол роста кристалла [0], что во многих случаях создает дополнительные проблемы, поскольку не соответствует реальному положению дел. Как показано выше (см. 4.1), математическая модель процесса Чохральского включает в себя уравнения, описывающие межфазные границы, распределение примеси, теплообмен и гидродинамику расплава. Поскольку точного аналитического решения соответствующая система дифференциальных уравнений не имеет, используют численные методы расчетов, и применение полученных результатов ограничено областью принятых физических допущений.

Как известно [21, 17], характерной особенностью моделей ТП Чохральского [64] является наличие трех переменных состояния (диаметр кристалла, высота мениска расплава и уровень расплава в тигле), причем только две из них являются независимыми. При совместном решении уравнений непрерывности, диффузии и движения расплава граничное условие на свободной поверхности мениска расплава в виде уравнения капиллярности Лапласа в дифференциальной форме записывают с учетом стабильности угла роста кристалла. Характер движения расплава зависит от многих параметров (скорости вращения тигля и образца, размеров выращиваемого кристалла по отношению к размерам тигля, соотношения высоты тигля к его ширине, числа Рейнольдса) [0], не все из которых обладают пространственной симметрией. Однако для моделей движения расплава наиболее часто применяют одномерное приближение, например, при анализе динамики фронта кристаллизации [183], при описании поглощения тепла на фронте кристаллизации [106]. Погрешность приближенного решения зависит от диаметра вытягиваемого кристалла [241], а для мениска расплава в приближении его осевой симметрии решение уравнения Лапласа достаточно точным является возле фронта кристаллизации.

Реальные процессы при росте  кристалла отличаются нелинейностью и нестационарностью. Форма и размеры образца определяются капиллярными силами, образующими мениск расплава, и условиями тепломассообмена в системе кристалл - расплав [184, 159], в том числе, такими динамическими характеристиками, как высота мениска расплава, диаметр и угол смачивания кристалла, значения которых взаимосвязаны. В процессе роста МК текущая замена расплава кристаллизуемой средой и перераспределение твердой и жидкой масс в рабочем пространстве ростовой установки приводят к изменению всех характеристик теплового поля – значений температуры расплава и кристалла, параметров теплопереноса, положения фронта кристаллизации и величины градиента температуры в области фронта кристаллизации. Периодические симметричные колебания управляющей переменной вызывают несимметричные колебания диаметра кристалла. Экспериментальные данные подтверждают вывод о том, что ТП выращивания кристаллов - существенно нелинейный процесс [29, 124]. Некоторые нелинейные эффекты учитываются в законах регулирования диаметра кристаллов (обзор работ приведен в [177]), однако выбор управляющих функций в отсутствие достаточно полно отображающих нелинейность объекта управления моделей имеет эмпирический характер. Необходима коррекция алгоритмов регулирования в режиме реального времени.

Степень стационарности тепловых процессов  в ростовой системе является существенным фактором, влияющим на результаты кристаллизации из расплава [7]. Изменение температурных условий в установках "РОСТ" на различных стадиях роста кристалла иллюстрирует рис. 4.2. На стадии разращивания (рис. 4.2 А) передача тепла осуществляется в основном между кристаллом, расплавом и стенками тигля и незначительно - от газовой среды ростовой печи.

При росте с постоянным диаметром (рис. 4.2 Б) верхняя часть кристалла  активнее участвует в теплообмене  с газовой средой, в результате чего менее интенсивным становится теплообмен расплава с тиглем.

После того как цилиндрическая часть  кристалла перейдет границу верхней  кромки тигля (рис. 4.2 В, Г) передача тепла газовой среде становится интенсивнее других составляющих теплообмена.

Рисунок 4.2. Схема изменения температурных  условий в установках "РОСТ" на различных стадиях роста крупногабаритных СМК: А - разращивание; Б - начало роста в длину; В - рост в длину; Г- завершение выращивания. 1 - дополнительная вертикальная стенка тигля; 2 - боковой нагреватель; 3 - кристалл; 4 - донный нагреватель.

Эти процессы приводят к постоянному  изменению во времени тепловых условий  роста МК. Попытка учета нестационарности термических процессов в ростовой системе предпринята в [194], где теоретически рассмотрен характер изменения скорости кристаллизации и распределения примеси при изменении тепловых условий и других параметров роста кристаллов. Стабилизация уровня расплава его подпиткой при выращивании крупногабаритных СМК улучшает тепловые условия роста кристалла. Подпитка расплава позволяет не ограничивать длину образца и увеличить его массу в 3-4 раза, уменьшить начальную массу расплава в тигле и сократить продолжительность вспомогательных операций, связанных с загрузкой и расплавлением сырья, снизить расход энергоресурсов и повысить безопасность труда. С другой стороны, с введением подпитки расплава усложняются операции управления ростом кристалла, появляются проблемы, связанные с невозможностью измерять диаметр кристалла во время подпитки расплава и др. Все это требует дополнительных корректирующих воздействий со стороны средств автоматизации процесса.