Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования  
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе.

Выполнила

студентка V курса

математического факультета

Лысова Инга Геннадьевна

Научный руководитель: 

кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии

Шихова А.П.

Рецензент:

 

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г.     Зав. кафедрой Е.М.Вечтомов   

«___»___________2005 г.     Декан факультета В.И. Варанкина

 

Киров

2005 

Содержание

Введение  3

Глава 1.

 §1 Анализ учебно-методической литературы по теме исследования

1. Инструктивные письма 6

2. Анализ статей из журналов «Математика в школе» 9

3. Анализ вероятностно-статистической линии

 в учебной литературе 16

§2 О подготовке учителей к обучению школьников стохастике 27

§3 Некоторые выводы содержательно-методического характера по реализации стохастической линии в основной школе 32

 

Глава 2. Методика изучения стохастики в основной школе

§1. Методика реализации стохастической линии в 5 классе 38

§2. Методика реализации стохастической линии в 6 классе 49

§3. Методика реализации стохастической линии в 7 классе 59

§4. Методика реализации стохастической линии в 8 классе 67

§5. Методика реализации стохастической линии в 9 классе 72

 

Заключение 76

Библиография 77

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс математики. О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. Но внедрение стохастической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Исследования психологов (Ж.Пиаже, Е.Фишбейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет (это 5-7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей.   [2]

Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности. [2]

Знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует  еще и «быть может» (причем это «может быть» поддается строгой количественной оценке), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Учащиеся видят непосредственную связь математики  с окружающей действительностью, реальной жизнью.

Цель дипломной работы: на основе исследований, сделать выводы о возможности введения стохастической линии в основную школу, и дать полезные методические рекомендации для ее реализации.

   Исходя из этого можно  выделить следующие задачи, реализация которых позволяет достичь поставленную цель.

• Необходимо определить содержание материала по каждому из направлений: комбинаторика, статистика, теория вероятностей.
• Проанализировать связи между этими направлениями и определить последовательность или параллельность их изучения.
• По каждому классу определить содержание и разработать методику обучения учащихся каждому из названных разделов стохастики. 

Для реализации данных задач используются следующие средства.

• Изучение школьных учебников, статей, психолого-педагогической и методической литературы по данной теме.
• Изучение стандартов образования по данной теме.
• Анализ школьных учебников, выявление преимущества тех или иных учебных пособий.
• Изучение имеющегося опыта преподавания в школе данной темы.

 

 

 

 

Глава 1.

§1 Анализ учебно-методической литературы по теме исследования.

1. Инструктивные письма.

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения.

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику работы этого нового материала требует нескольких лет и нуждается в накоплении методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начать преподавать курс «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в основной школе с 2003/2004 учебного года.

При этом предлагается ориентироваться на следующее содержание:

• Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.
• Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результаты измерений.
• Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно-статистических представлений. [25]

Государственным стандартом образования предусмотрен  обязательный минимум, и изложены основные требования к уровню подготовки выпускников.

 Для основного общего образования, по теме – Элементы логики, комбинаторика, статистика и теория вероятностей на данный момент установлен следующий обязательный минимум:

Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пресечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Требования к уровню подготовки выпускника:

В результате изучения математики ученик должен знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов.

В результате изучения элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей учащийся должен уметь:

• Извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики.
• Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения.
• Вычислять среднее значения результатов измерений
• Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные
• Находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• Анализа реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц
• Решение учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов
• Сравнение шансов наступления случайных событий, оценка вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией
• Понимание статистических утверждений

 

 

2. Анализ статей из журналов «Математика в школе».

Журналы «Математика в школе» содержат ряд статей, в которых рассматриваются различные вопросы по данной теме.

О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. И авторы многих статей говорят о необходимости введения стохастической линии в основную школу.

Бунимович Е.А [2] в защиту этой необходимости приводит следующие аргументы:

1. Социально-экономическая ситуация.

 «Нужно научить  детей жить в вероятностной ситуации. То есть нужно научить их извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения».

2. Универсальность вероятностных  законов.

«Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология,  лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построен и развивается на вероятностно-статистической базе.    

Подросток в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка».

3. Развивающая роль стохастики.

«Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Все сказанное в полной мере относится и к преподаванию теории вероятностей, но обучение «законам случая» играет несколько большую роль и выходит за рамки обычного. Слушая курс теории вероятностей, учащийся познает, как применять приемы логического мышления в тех случаях, когда приходится иметь дело с неопределенностью (а такие случаи возникают на практике почти всегда)».

4. Прикладной характер законов теории вероятностей.

«Выводы теории вероятностей находят применение в повседневной жизни, науке, технике и т.д.  В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться со случайностью, и теория вероятностей учит нас, как действовать рационально с учетом риска, связанного с принятием отдельных решений. Хорошим примером применения теории вероятностей в повседневной жизни может служить выбор наиболее целесообразной формы страхования. При планировании, например, семейного бюджета зачастую приходится оценивать расходы, носящие в известной мере случайный характер. Знакомство на том или ином уровне с законами случая необходимо каждому. Применение теории вероятностей в науке, технике, экономике и т.д. приобретает все возрастающее значение. Именно поэтому у все большего числа людей в процессе работы возникает необходимость в изучении теории вероятностей. Современный образованный человек независимо от профессии и рода занятий должен быть знаком с простейшими понятиями теории вероятностей. В наши дни, когда прогноз погоды содержит сообщение о вероятности дождя на завтра, каждый должен знать что собственно это означает».