Инвестиции

ГЛАВА 12. Инвестиционный горизонт И новые  критерии оценки инвестиций с учетом риска

12.1. Роль инвестиционного горизонта

Инвестиционный горизонт. До сих пор в этой книге, как и в большей части литературы по экономической оценке инвестиций, характеристики, на основе которых осуществлялся выбор активов при формировании портфеля, относились только к одному предстоящему периоду. Это означает, что молчаливо предполагался выбор инвестором портфеля только на один предстоящий период, тогда как на практике дело, как правило, обстоит иначе.

Указанное очень упрощенное допущение можно  изменить и анализировать «поведение» портфеля активов в течение всех периодов владения им, которое предвидит инвестор. Это необходимо для понимания того, как будет меняться оптимальный портфель при изменении значимого для инвестора инвестиционного горизонта.

В решении  этой задачи есть осложняющее обстоятельство, заключающееся в том, что доходность и риск эффективных портфелей связаны квадратичной функцией. Выбор оптимального для конкретного инвестора портфеля в соответствии с его кривыми безразличия осуществляется достаточно сложно, как описано в главе 3 и иллюстрируется рис. 3.4 для однопериодного случая.

Решение поставленной проблемы более легко получить используя, как будет показано ниже, новый критерий оптимизации, который назвали «критерий допустимых потерь» (drawdown criteria). Установлено, что критерий допустимых потерь согласуется со способом, при помощи которого инвесторы в действительности выбирают портфели, кроме того, он согласуется с известным критерием максимизации полезности.

Длительное  время и теоретики, и практики, как правило, не придавали значения длине инвестиционного горизонта  в вопросах анализа портфелей  и выбора оптимального портфеля. Но игнорировать длину инвестиционного горизонта можно только при следующих условиях:

1. оптимальный портфель не зависит от длины инвестиционного горизонта;
2. у всех инвесторов общий горизонт и этот горизонт в точности совпадает с промежутком времени, в котором определена доходность.

Вторая из этих возможностей легко может быть отвергнута. Первую возможность оспорить значительно труднее, но и она, тем не менее, может быть отвергнута, как это будет показано ниже.

Уровень риска, связанного с одним и тем же портфелем, неодинаков для всех инвесторов. Разные инвесторы, рассматривающие один и тот же портфель, будут ощущать разную степень риска. Эта разница определяется взаимосвязью между уровнем риска портфеля и длиной горизонта для конкретного инвестора. В целом, чем длиннее горизонт, который актуален для данного инвестора, тем выше уровень риска однопериодного портфеля, который выбирает инвестор. При прочих равных условиях, инвестор с более длинным горизонтом более терпим к риску, чем инвестор с более коротким горизонтом! На первый взгляд это весьма удивительно, но этот феномен имеет научное объяснение, излагаемое ниже.

Чтобы понять важность длины инвестиционного  горизонта и то, как будут вести  себя инвесторы, максимизирующих полезность, когда их горизонты будут меняться, приведем количественный анализ многопериодного портфеля.

Элементы многопериодной модели. Предположим, что время разбито на дискретные интервалы равной длины. Их будем называть однопериодными интервалами. Инвестиционный горизонт длины T состоит из T последовательных однопериодных интервалов. Длину горизонта можно рассматривать как время до планируемого конечного использования инвестиционных доходов, например для целей потребления.

Будем обозначать относительную стоимость портфеля в конце горизонта длинной T через R(Т). То есть, отношение «богатства» конечного периода к «богатству» начального периода, составит R(Т).

Предполагается, что стоимость  портфеля наращивается за счет реинвестирование текущих доходов, которые обеспечивает портфель, в увеличение объема активов в его составе.

Предполагается, что относительная стоимость  за один период имеет логарифмически нормальное распределение, и что  последовательные относительные стоимости одинаково распределены и не зависимы между собой.

Обозначим математическое ожидание – среднее значение и дисперсию относительной стоимости портфеля в конце инвестиционного горизонта через m_R(Т) и (Т) соответственно. Доходность в момент T обозначим, как и ранее через a(Т). Обозначим математическое ожидание и дисперсию доходности a(Т) через m_a(Т) и s²_a (Т) соответственно.

Параметры многопериодной стоимости и доходности связаны с параметрами однопериодной доходности следующими соотношениями, которые указал Дж. Тобин и обосновал Дж. Маршалл:

m_R(Т) =m_R^T(1);                                           (12.1)

m _a(Т) =m_R(T) – 1;                                         (12.2)

s² _a(Т) = (Т) = [ (1) +  s² _a(1)]^T – m (1).               (12.3)

Параметры стоимости однопериодного портфеля определяются соотношениями, подобными приведенным в главе 3 для параметров доходности. Относительная стоимость портфеля составит:

m_{R, p} = x _i ∙ m_R,i (1),                                      (12.4)

здесь  m_{R, p} (1) – ожидаемая стоимость портфеля  в первый период;

x_i – доля стоимости портфеля, инвестированная в i-тый актив;

m_R,i – ожидаемая стоимость i-того актива;

i – порядковый номер актива;

n – число активов в портфеле.

Дисперсии относительной стоимости  и доходности портфеля в один и тот же период не различаются. Дисперсия стоимости портфеля определяется по формуле, подобной формуле (3.5):

σ_p²(1) = x_i² ∙ σ_i ²(1) + x_i ∙ x_j ∙ σ_i (1) ∙ σ_j(1) ∙ r_ij,                (12.5)          

здесь σ_p²(1) – дисперсия стоимости (доходности) портфеля в первый период;

σ_p(1) – среднеквадратическое отклонение стоимости (доходности) портфеля в первый период;

x_i и x_j – доля i-того и j-того активов в портфеле;

σ_i (1) и σ_j(1) – среднеквадратическое отклонение стоимости (доходности) i-того и j-того активов;

n – число активов в портфеле;

– обозначает суммирование по всем возможным парам активов, исключая сочетание равенства индексов: i ¹ j;

r_ij – коэффициент корреляции между стоимостью (доходностью) актива i и актива j.

Параметры многопериодного портфеля можно получить из параметров однопериодного портфеля используя приведенные выше соотношения (12.1) – (12.5).

Поскольку различные активы имеют  различную доходность, выбор соотношений активов в портфеле зависит от желания инвестора. Переформирование портфеля предполагает периодическую корректировку портфеля для восстановления исходной структуры – соотношений активов в портфеле после получения дохода в конце каждого периода и его реинвестирование на пополнение портфеля.

Предполагаем, что исходная структура  портфеля восстанавливается в начале каждого нового периода. При таком  предположении параметры многопериодной стоимости портфеля будут задаваться соотношениями:

m_R,p(Т) =m_R.p^T(1);                                            (12.6)

(Т) = [ (1) +  s_p²(1)]^T – m .                         (12.7)

Предположение о переформировании обеспечивает стационарность и  взаимную независимость относительных доходов портфеля для всех единичных периодов. Это в свою очередь приводит к тому, что многопериодная относительная стоимость портфеля будет иметь логарифмически нормальное распределение, каким оно и представлялось в момент начального выбора портфеля.

Пример. Инвестор сформировал портфель ценных бумаг, который должен обеспечить в первый период – первый год доходность в 26,5%, среднеквадратичное отклонение ожидаемой доходности составляет 46,4%. Предполагается полученный доход реинвестируется с восстановлением структуры портфеля. Оценим доходность и среднеквадратичное отклонение ожидаемой доходности в конце третьего периода.

Из соотношения (12.2) можно получить формулу для оценки относительной стоимости портфеля к концу периода T:

m_R(T) = 1 + m _a(Т).                                          (12.8)

В первом периоде стоимость портфеля увеличится и составит по отношению к первоначальному значению согласно формуле (12.8):

m_R(1) =1 + m _a (1) = 1 + 0,265 = 1,265.

По формуле (12.6) имеем:

m_R,p(3) = 1,265³ = 2,0243.

По формуле (12.2) определяем доходность к концу третьего периода:

m _a(3) = 2,0243 – 1 =1,0243, или 102,43%.

По формуле (12.7) определяем дисперсию  и среднеквадратичное отклонение ожидаемой доходности к концу третьего периода:

(3) = (1,265² + 0,464²)³ – 1,265^2´3 = 1,8865;

= = =1,3735, или 137,35%.

Многопериодное эффективное  множество. При выполнении сделанных выше предположений однопериодное множество минимальной дисперсии для рискового рыночного портфеля входит в состав многопериодного множества минимальной дисперсии вне зависимости от длины инвестиционного горизонта. Все портфели, эффективные для однопериодного инвестиционного горизонта, являются эффективными и для многопериодного инвестиционного горизонта.

Напомним, эффективные портфели –  это такие портфели, которые обеспечивают максимальную ожидаемую доходность при определенном уровне риска или минимальный уровень риска при определенной ожидаемой доходности. В координатах риск – доходность на рис. 3.4 эффективные портфели характеризуется  частью BME линии ABME.

Но анализ многопериодных моделей  с помощью приведенных выше соотношений  Дж. Тобина и Дж. Маршалла показали, что этим не исчерпывается множество эффективных портфелей. Оказалось, что множество портфелей, неэффективных в однопериодном случае, являются эффективными в многопериодном случае.

Пример. Рассмотрим множество портфелей, для которого дисперсия портфеля и ожидаемая доходность портфеля в первом периоде связаны следующим конкретным соотношением, вытекающим их соотношений (3.5) и (3.6), иллюстрируемых рис. 3.3:

(1) = 0,03 – 0,625 m _p(1) +  5,0m² _p(1).                       (12.9)

Некоторые выборочные значения однопериодного множества минимальной дисперсии доходностей вместе с соответствующими значениями доходности для пятипериодного множества минимальной дисперсии рассчитаны и представлены в табл. 12.1.

Табл. 12.1. Портфели с минимальной  дисперсией

Портфель, №	Однопериодный портфель		Пятипериодный портфель
	mp(1)	sp(1)	mp(5)	sp(5)
1	0,000	0,173	0,000	0,399
2	0,010	0,156	0,051	0,371
3	0,040	0,114	0,217	0,302
4	0,050	0,106	0,276	0,291
5	0,055	0,104	0,307	0,290*
6	0,060	0,102	0,338	0,292*
7	0,065	0,102*	0,370	0,298*
8	0,070	0,104*	0,403	0,307*
9	0,200	0,324*	1,488	1,616*
10	0,265	0,464*	2,239	3,040*
* Эффективные портфели

Портфели, являющиеся эффективными, помечены звездочкой. Характеристики однопериодных портфелей в табл. 12.1 получены с помощью соотношения (12.9), а пятипериодных портфелей – с помощью соотношений (12.6) и (12.7). Портфели, являющиеся эффективными, помечены звездочкой. Их легко выбрать, если по данным табл. 12.1 построить графики в координатах m_p – s_p, как показано на рис. 12.1, где верхняя ветвь на графике соответствует эффективным портфелям.

Рис.12.1. Множество однопериодных  портфелей, верхняя ветвь графика  – эффективные портфели

Из табл. 12.1 можно видеть, что 5-й  и 6-й портфели не являются эффективными в однопериодном случае, но они эффективны в пятипериодном случае.

Таким образом, с увеличением инвестиционного  горизонта все больше и больше неэффективных однопериодных портфелей с минимальной дисперсией становятся эффективными в многопериодном случае. Это главный вывод анализа, выполненного Дж. Маршаллом, который позволил объяснить поведение инвесторов, наблюдаемое на практике.

12.2. Оценки риска с учетом значения инвестиционного горизонта

Значение инвестиционного  горизонта. Рассмотрим этот вопрос на примере.

Пример, продолжение преидущего примера. Допустим, что оптимальным для инвестора в соответствии с его предпочтениями, которые можно представить семейством кривых безразличия, является однопериодный портфель №7, характеристики которого приведены в табл. 12.1 и 12.2.

Табл. 12.2. Доверительная трубка доходности: 90% доверительный интервал

Инвестиционный горизонт	Портфель №7: доходность			Портфель №10: доходность
	Верхняя граница	Среднее	Нижняя граница	Верхняя граница	Среднее	Нижняя граница
1	0,241	0,065	-0,095*	1,132	0,265	-0,339
2	0,405	0,134	-0,101*	2,226	0,600	-0,384
3	0,566	0,208	-0,094*	3,614	1,024	-0,393
4	0,732	0,286	-0,079*	5,409	1,561	-0,383
5	0,906	0,370	-0,059*	7,738	2,239	-0,362
6	1,090	0,459	-0,036*	10,756	3,098	-0,332
14	3,088	1,415	0,254*	97,973	25,870	0,239
15	3,424	1,572	0,302	125,911	32,991	0,363*
16	3,785	1,739	0,353	161,324	41,998	0,502*
42	31,291	13,083	3,171	60 326,766	19 399,015	29,589*
43	33,649	13,998	3,368	74 921,266	24 540,019	33,727*
44	36,174	14,973	3,575	92 998,184	31 043,389	38,455*
45	38,878	16,011	3,793	115 378,748	39 270,153	43,826*
49	51,740	20,884	4,781	272 076,275	100 561,428	74,117*
50	55,541	22,307	5,060	336 785,533	127 210,471	84,559*
* Эффективные портфели