Инвестиции

Показателю (12.12), как и критерию допустимых потерь, охарактеризованному ранее, может быть дана следующая интерпретация в рамках теории компромисса между риском и доходностью и теории максимизации полезности.

Величина коэффициента нижней границы  доверительного интервала чистой приведенной  стоимости может рассматриваться  как характеристика угла наклона  кривой безразличия инвестора в координатах стоимость – риск. Это утверждение может быть подтверждено следующим образом.

Уравнение (12.12) преобразуем и представим в виде:

NPV = N + t_N(P) ·s _NPV.                                (12.14)

Полагаем в (12.14) величину N некоторой постоянной величиной, которая представляет собой требуемую инвестором величину стоимости независимо от уровня риска – некоторый аналог ставки доходности безрискового актива. Величину NPV полагаем некоторой переменной величиной требуемой стоимости, которая увеличивается по мере увеличения риска, характеризуемого величиной s _NPV.

Для простоты представим (12.14) в относительных  величинах:

= 1 +  t_N(P) · _.                                (12.15)

В (12.15) величину можно рассматривать как некий показатель требуемого уровня стоимости, а величина как некий относительный показатель, характеризующий риск. Зависимость рассматриваемых величин представлена на рис. 12.4.

Рис. 12.4. Требуемый уровень  прибыльности в зависимости от величины риска при t_N (снизу вверх): 0,5; 1,0; 1,5.

Анализ графиков, приведенных на рисунке показывает – чем больше величина коэффициента доверительного интервала t_N отличается от нуля, тем больший уровень прибыльности требует инвестор при увеличении риска. При нулевом значении коэффициента t_N лицо, принимающее решение, игнорирует риск. В этом случае вероятность получения среднего уровня чистой приведенной стоимости – приведенной стоимости, исчисленной без учета риска, составляет 50%.

Напомним, инвесторы, лица, принимающие решения, в соответствии с представлениями  концепции «риск – доходность»  требуют компенсации риска дополнительным доходом, величина которого возрастает пропорционально уровню риска. Поэтому доверительная вероятность, определяющая значение коэффициента доверительного интервала в (12.12), должна превышать 50%.

Указанное требование определяет нижнюю границу  доверительной вероятности, выбор  которой следует предложить лицу, принимающему инвестиционное решение. Верхний предел доверительной вероятности с учетом высокого уровня неопределенности, характерного для экономических систем, целесообразно установить не более 90-95%.

Пример – продолжение предыдущего примера. Имеются два альтернативных проекта с одинаковой продолжительностью. Первый проект, напомним, имеет расчетное значение – математическое ожидание NPV₁ величиной 200 тыс. руб., среднеквадратическое отклонение s_NPV1 равно 100 тыс. руб. Второй проект имеет NPV₂ = 300 тыс. руб., s_NPV2 = 200 тыс. руб.

Дать им оценку по критерию нижней границы доверительного  интервала чистой приведенной стоимости, с учетом того, что лицо, принимающее решение, считает достаточно надежным осуществить выбор, основываясь на уровне доверительной вероятности в 75%.

Из уравнения (12.13) 0,75 = 0,5 + Ф (t_N )/2 находим Ф (t_N )/2 = 0,25. Используя таблицы интеграла вероятностей находим t_N = z = 0,68.

По формуле (12.12) для первого проекта находим: 

N₁ = 200 – 0,68· 100 = 132 тыс. руб.

Для второго проекта находим: 

N₂ = 300 – 0,68 · 200 = 168 тыс. руб.

Полученные результаты свидетельствуют, что с вероятность 75% первый проект обеспечит чистую приведенную стоимость величиной не менее 132 тыс. руб., а второй проект – не менее 168 тыс. руб. Лицо, принимающее решение в данном случае, должно предпочесть второй проект.

12.4. Статистические характеристики  оценки чистой приведенной стоимости  инвестиционных проектов и программ

Для использования таких критериев  оценки инвестиционных проектов и инвестиционных программ, как доверительный интервал чистой приведенной стоимости, или нижняя граница доверительного интервала чистой приведенной стоимости необходимо использовать числовые характеристики чистой приведенной стоимости как случайной величины. Такими характеристиками являются математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

Как правило  считается, что источником неопределенности чистой приведенной стоимости является неопределенность денежных потоков. Это  позволяет определить статистические характеристики чистой приведенной  стоимости достаточно просто по данным о статистических характеристиках денежных потоков.

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение чистой приведенной стоимости  проекта. Если в процессе анализа инвестиционного проекта получены оценки дискретных чистых денежных потоков, то математическое ожидание чистой приведенной стоимости проекта определяется по формуле, приводившейся в несколько иной форме ранее:

m_NPV ,                       (12.16)

здесь m_NPV – математическое ожидание NPV проекта;

t – порядковый номер периода осуществления проекта;

a_t – ставка дисконтирования, равная стоимости капитала, используемого для финансирования проекта в период t;

m_CFt – математическое ожидание чистого денежного потока проекта в период t;

n – общее число периодов проекта.

В составе денежных потоков проекта  в соответствии подходом, используемым в практике оценок риска, охарактеризованной выше, все потоки подразделяться на два типа: 1) тесно связанные корреляционной связью между собой и 2) потоки между которыми корреляционные связи отсутствуют.

Для тесно связанных денежных потоков  проекта среднеквадратическое отклонение определяется выражением:

s_NPVz ,                       (12.17)

здесь s_NPVz – среднеквадратическое отклонение NPV для связных потоков;

s_CFtz – среднеквадратическое отклонение связного денежного потока проекта в период t.

Для денежных потоков проекта, между  которыми отсутствует корреляционная связь, независимых потоков, среднеквадратическое отклонение определяется выражением:

s_NPV0  = ,                           (12.18)

здесь s_NPV0 – среднеквадратическое отклонение NPV не связных потоков;

s_CFt0 – среднеквадратическое отклонение не связного денежного потока проекта в период t.

Для чистой приведенной стоимости проекта в целом среднеквадратическое отклонение определяется выражением:

s_NPV = .                               (12.19)

Пример. Предприятие предполагает конце года приобрести производство фурнитуры. Производства позволит предприятию ежегодно в течении пяти лет получать дополнительно чистую прибыль. Стоимость источника капитала для реализации проекта составляет 20%. Специалисты предприятия оценивают стоимость проекта и дополнительную чистую прибыль показателями, приведенными в табл.12.5.

Табл. 12.5. Оценки стоимости и прибыльности проекта

Вероятность события, %	Стоимость приобретения производства, млн. руб.	Ежегодная дополнительная чистая прибыль, млн. руб.
25	9	3
50	10	4
25	11	5

Определить статистические характеристики чистой приведенной стоимости проекта и дать оценку рискованности проекта.

Определить  математическое ожидание денежных потоков  можно по формуле, аналогичной формуле (2.1):

m_CF = CF_i ∙ P _i ,                                      (12.20)

здесь m_CF – математическое ожидание денежного потока;

CF_i – i-тый возможный вариант величины денежного потока;

P_i – вероятность появления i-того события;

n – число возможных событий.

Математическое  ожидание стоимости приобретения производства по формуле (12.20) составит:

m_CF0 = 9´0,25 + 10´0,50 + 11´0,25 = 10 млн. руб.

Математическое ожидание ежегодной  дополнительной чистой прибыли так же определится по формуле (12.20):

m_CF1-5 = 3´0,25 + 4´0,50 + 5´0,25 = 4 млн. руб.

Математическое ожидание чистой приведенной стоимости проекта по формуле (12.16) составит:

m_NPV = – 10 +

+ + + + = =1,96 млн. руб.

Среднеквадратическое отклонение величины денежного потока можно определить по формуле, аналогичной формуле (2.2):

σ_CF = ,                               (12.21)

здесь σ_CF – среднеквадратическое отклонение величины денежного потока;

m_CF – математическое ожидание величины денежного потока;

CF_i – i-й возможный вариант величины денежного потока;

P_i – вероятность появления i-го события;

n – число возможных событий.

Среднеквадратическое  отклонение величины денежного потока, связанного с приобретением производства по формуле (12.21) составит:

σ_CF0 =

=

= 0,79 млн. руб.

Среднеквадратическое отклонение величины денежного потока, связанного с получением ежегодной дополнительной чистой прибыли при реализации проекта по формуле (12.21), так же составит:

σ_CF1-5 =

= 0,79 млн. руб.

Денежный поток, связанный с  приобретением производства, можно  считать не связанным с денежными  потоками, получаемыми в связи  с дополнительной чистой прибылью от реализации проекта.

Денежные потоки, получаемыми в течении пяти лет в связи с дополнительной чистой прибылью от реализации проекта, могут быть тесно связаны между собой, иное положение встречается редко.

С учетом изложенного среднеквадратическое отклонение чистой приведенной стоимости, связанное с денежными потоками от дополнительной чистой прибыли определяем по формуле (12.17):

s_NPVz = 

+ + + + =

=2,36 млн. руб.

Общая величина среднеквадратического отклонение чистой приведенной стоимости проекта определится по формуле (12.19):

s_NPV =

= = 2,49 млн. руб.

Простейшую оценку рискованности  проекта можно дать определив  коэффициент вариации (I-коэффициент) чистой приведенной стоимости по формуле, аналогичной формуле (2.4):

І =s_NPVz / m_NPV.                                           (12.22)

В рассматриваемом примере І =2,49/1,96 = 1,27. Проект можно признать довольно рискованным, поскольку вариация чистой приведенной стоимости может составить 127% ожидаемого значения чистой приведенной стоимости.

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение чистой приведенной стоимости  проекта с непрерывными денежными  потоками. Если в процессе анализа инвестиционного проекта получены оценки непрерывных чистых денежных потоков, то математическое ожидание чистой приведенной стоимости проекта определяется по формуле, приводившейся в несколько иной форме ранее:

m_NPV  = ,                            (12.23)

здесь m_cft – математическое ожидание чистого денежного потока в период t.

Для тесно связанных непрерывных  денежных потоков проекта среднеквадратическое отклонение определяется выражением:

,              (12.24)

здесь s_cft – среднеквадратическое отклонение интенсивности денежного потока в период t.

Для непрерывных денежных потоков, корреляционная связь между которыми отсутствует, среднеквадратическое отклонение определяется выражением:

s_NPV0 = .                          (12.25)

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение чистой приведенной стоимости инвестиционной программы. Для инвестиционных программ – портфелей инвестиционных проектов вероятностны характеристики определяются подобно тому как в главе 3 определены характеристики портфеля активов. Математическое ожидание чистой приведенной стоимости портфеля проектов определяется по формуле:

m_{NPV p} = m_NPVi,                                           (12.26)

здесь  m_{NPV p} – математическое ожидание NPV портфеля проектов;

m_{NPV p} – математическое ожидание NPV i-того проекта;

i – порядковый номер проекта;

n – число проектов в портфеле.

Для определения среднего квадратического  отклонения чистой приведенной стоимости инвестиционной программ – портфеля проектов используют следующую формулу:

= ,                 (12.27)

здесь – среднеквадратическое отклонение NPV портфеля проектов;

 и  _j – среднеквадратическое отклонение NPV i-того и j-того проектов;

m – число проектов в портфеле – в составе программы;

– обозначает суммирование по всем парам проектов, исключая сочетание  одинаковых индексов: i ¹ j;

r_ij – коэффициент корреляции между NPV проекта i и проекта j.

В случае  только двух видов проектов в составе инвестиционной программы формула (12.27) примет вид:

= ,           (12.28)