Инвестиции

ГЛАВА 3. РИСК И ДОХОДНОСТЬ

3.1. Анализ доходности и риска  инвестиционных проектов и активов      в портфеле

Портфель, напомним, представляет собой  набор каких либо средств, обеспечивающих возможность дохода в той или  иной форме. Например, это может быть набор ценных бумаг, или набор инвестиционных проектов – инвестиционная программа, направленная на расширение производства за счет освоения новых видов продукции. Доход может быть представлен относительными или абсолютными показателями, такими как доходность в форме процентной ставки на капитал, или как абсолютный доход в денежном выражении.

В начале для простоты рассмотрим анализ риска и доходности портфелей активов в виде финансовых инструментов, доход которых измеряется относительным показателем – доходностью. Доходность представляет собой отношение дохода и вложенного для его получения капитала.

Ожидаемая доходность портфеля – набора активов представляет собой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой доходности отдельных проектов или активов, входящих в данный портфель:

ā_p = x_i ∙ ā _i ,                                            (3.1)

где  ā_p – ожидаемая доходность портфеля;

x_i – доля стоимости портфеля, инвестированная в i-тый актив;

ā_i – ожидаемая доходность i-того актива;

i – порядковый номер актива;

n – число активов в портфеле, значком å обозначено суммирование по всем n активам.

Пример. Ожидаемая доходность акций А, которые образуют 40% стоимости портфеля, составляет 10% годовых, а акций B, образующих оставшиеся 60% портфеля, – 20% годовых.

По формуле (3.1) определяем ожидаемую доходность портфеля, которая составит:

ā_p =  0,40 ∙ 10% + 0,60 ∙ 20% = 16%.

Риск портфеля в большинстве случаев меньше риска входящих в его состав активов. Для измерения риска портфеля необходимо вычислять среднеквадратическое отклонение его доходности. При дискретном распределении доходности его легко может подсчитать, определив дисперсию доходности портфеля следующим образом:

σ_p² = (a_pi – ā_p)² ∙ P _i,                                        (3.2)

где    σ_p² – дисперсия доходности портфеля;

σ_p – среднеквадратичное отклонение доходности портфеля;

ā_p – ожидаемая доходность портфеля;

a_pi  – ожидаемая доходность портфеля при i-том состоянии экономики; P_i – вероятность i-того состояния экономики;

n – число возможных состояний экономики, å – обозначение суммирование по всем n возможным состоянием экономики.

Однако задача оценки доходности портфеля, включающего несколько разных активов, в различных возможных условиях чрезвычайно трудна даже для опытного эксперта. Потому оценка дисперсии портфеля при помощи выражения (3.2) используется редко.

Ковариация и коэффициент корреляции являются основными понятиями, используемыми для анализа риска портфеля. Напомним, ковариация – это мера, учитывающая дисперсию, или разброс индивидуальных значений доходности активов или проектов силу связи между изменением их доходности. Например, ковариация между акциями А и В показывает, существует ли взаимосвязь между увеличением или уменьшением значения доходности этих акций, и, кроме того, показывает силу этой взаимосвязи.

Ковариация рассчитывается так:

Cov (A, B) = (a_Ai – ā_A) ∙ (a_Bi – ā_B) ∙ P _i,                       (3.3)

где    Cov (A, B) – ковариация доходности акций А и доходности акций B;

ā_А – ожидаемая доходность акций А;

a_Аi  – ожидаемая доходность акций A при i-том состоянии экономики;

ā_B – ожидаемая доходность акций B;

a_Bi  – ожидаемая доходность акций B при i-том состоянии экономики; P _i – вероятность i-того состояния экономики;

n – число возможных состояний экономики.

Содержательно интерпретировать численное  значение ковариации довольно сложно, поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.

Напомним, что корреляцией называется тенденция двух переменных к совместному  изменению. Сила этой тенденции и  измеряется с помощью коэффициента, который лежит в пределах от + 1,0, что означает тождественное изменение переменных, до – 1,0, что означает изменение значений двух переменных абсолютно противоположным образом. Равенство коэффициента корреляции нулю указывает отсутствие связи между переменными.

Коэффициент корреляции между переменными, представленными доходностью акций А и В, рассчитывается следующим образом:

r_A,B = [Cov (A, B)] / (σ_A∙ σ_B),                                     (3.4)

где     r_A,B – коэффициент корреляции между доходностью акций А и В;

σ_A – среднеквадратическое отклонение доходности акций A;

σ_B – среднеквадратическое отклонение доходности акций B.

Пример. В табл. 3.1 приведены экспертные оценки распределения вероятностей доходности акций А и В подсчитанные по формулам (3.1) и (3.2) значения ожидаемой доходности и среднего квадратического отклонения доходности каждой из акций.

По формуле (3.3) посчитаем ковариацию между акциями А и В:

Cov (A, B) = (6 – 10) ∙ (14 – 10) ∙ 0,1 + (8 – 10) ∙ (12 – 10) ∙ 0,2 + (10 – 10) ∙ (10– – 10) ∙ 0,4 + (12 – 10) ∙ (8 – 10) ∙ 0,2 + (14 – 10) ∙ (6 – 10) ∙ 0,1 = – 4,8%.

По формуле (3.4) подсчитываем коэффициент корреляции между доходностью акций А и В:

r_A,B = – 4,8 / (2,2 ∙ 2,2) = – 1,0.

Полученный результат свидетельствует  о том, что между доходностью рассматриваемых акций существует тесная отрицательная связь – рост доходности акций А происходит при падении доходности акций В.

Табл. 3.1. Распределение вероятностей доходности акций

Вероятность	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1
Доходность акций А, %	14,0	12,0	10,0	8,0	6,0
Доходность акций В, %	6,0	8,0	10,0	12,0	14,0
āA = 10,0%, āB = 10,0%, σA = 2,2%, σB = 2,2%.

Теоретически казалось бы можно  подобрать две акции, каждая из которых имеет определенный уровень риска, характеризуемый показателем среднего квадратического отклонения, и составить из этих рисковых активов портфель, который окажется абсолютно безрисковым, имеющим σ_p = 0. Для этого нужно, прежде всего, чтобы r_A,B = – 1,0. На практике это оказывается невозможным. Приведенный пример служит лишь средством освоения методики расчетов.

Применение компьютеров и глобальной сети. Для вычисления ковариации и коэффициента корреляции двух переменных, как и для вычисления дисперсии и среднеквадратичного отклонения одной переменной величины можно использовать фактические данные – имеющиеся временные ряды данных о доходности активов для получения объективных, а не субъективных оценок. Здесь мы не всегда будем приводить формулы для таких расчетов, поскольку на практике определение статистических характеристик выполняется на персональных компьютерах в автоматическом режиме и практически мгновенно.

Используют  обычно средства электронных таблиц, из которых наиболее популярными в настоящее время являются MS Excel, а также специальные статистические пакеты; они содержат средства обработки данных, позволяющие просто и считанные секунды определять различные статистические характеристики, сделать прогнозы статистических характеристик на будущее. Временные ряды показателей, характеризующих различные финансовые инструменты на различных российских и иностранных рынках, можно найти в сетевых ресурсах интернет.

Портфель, состоящий из нескольких активов. Для определения риска портфеля, состоящего из нескольких активов, используют следующую формулу:

σ_p² = x_i² ∙ σ_i ² + x_i ∙ x_j ∙ σ_i ∙ σ_j ∙ r_ij,                     (3.5)          

где    σ_p² – дисперсия доходности портфеля;

σ_p – среднеквадратичное отклонение доходности портфеля;

x_i и x_j – доля i-того и j-того активов в портфеле;

σ_i и σ_j – среднеквадратическое отклонение доходности i-го и j-го активов;

n – число активов в портфеле;

– обозначение суммирование по всем n активам;

– обозначает суммирование по всем возможным парам активов, исключая сочетание равенства индексов: i ¹ j;

r_ij – коэффициент корреляции между доходностью актива i и актива j.

В случае  только двух видов активов  в портфеле формула (3.5) примет вид:

σ_p² = x² ∙ σ_А ² + (1 – x) ² ∙ σ_B ² + 2 ∙ x ∙ (1 – x) ∙ σ_A ∙ σ_B ∙ r_AB,         (3.6)

где    σ_p – среднеквадратическое отклонение доходности портфеля;

x – доля активов A в портфеле;

σ_A и σ_B – среднеквадратическое отклонение доходности активов A и B соответственно;

r_AB – коэффициент корреляции между доходностью активов A и B.

3.2. Эффективные портфели и оптимальный портфель

Выбор эффективных портфелей – таких портфелей, которые обеспечивают максимальную ожидаемую доходность при определенном уровне риска или минимальный уровень риска при определенной ожидаемой доходности, является важной задачей обеспечения эффективности инвестиций. При решении задачи учитывают статистические взаимосвязи доходности активов. Покажем как формируется эффективный портфель на простейшем примере. 

Пример. Необходимо вложить капитал в ценные бумаги А и В, причем распределение капитала между этими ценными бумагами может быть любым. Ожидаемая доходность ценной бумаги А ā_A = 10%, среднеквадратичное отклонение доходности σ_A = 10%, для ценной бумаги В соответственно ā_B = 20%, σ_В = 20%.

Определить  множество допустимых портфелей  и затем выделить из допустимого  множества эффективное подмножество, при значениях коэффициента корреляции доходности акций A и B r_AB = + 1, r_AB = 0 и r_AB = – 1.

Рассчитаем  доходность и среднеквадратичное отклонение доходности портфеля при разных долях акций в его составе, используя формулы (3.1) и (3.6). Так, например, если доля акций А составляет 75% –  x_А = 0,75 и коэффициент корреляции r_AB = 1:

ā_p = 0,75 ∙ 10 + (1 – 0,75) ∙ 20 = 12,5%;

σ_p² = 0,75² ∙ 10 ² + (1 – 0,75) ² ∙ 20² + 2 ∙ 0,75 ∙ (1 – 0,75) ∙ 10 ∙ 20 ∙ 1,0 = 156,25;

σ_p =

= 12,5%.

Проделаем подобные вычисления для других величин доли стоимости акций A в портфеле и других величин коэффициента корреляции r_AB. По результатам расчетов построим графики, показанные на рис. 3.1 – 3.3.

Рис. 3.1. Доходность и риск портфеля из двух активов  А и В при r_AB = + 1

Эффективные портфели. Не все портфели, принадлежащие допустимому множеству, являются эффективными.

Рис. 3.2. Доходность (%) и риск портфеля из двух активов А и В  при r_AB = – 1

Графики характеризуют допустимое, или возможное, множество портфелей, имеющих разную структуру – разное соотношение акций А и В.

Нижняя ветвь ломаной линии на графике, представленном на рис. 3.2, и нижняя ветвь кривой на графике, представленном на рис. 3.3,  не соответствуют эффективным портфелям, тогда как верхние ветви линий этих графиков соответствуют эффективным портфелям, портфелям с более высокой доходностью при одном и том же уровне риска по сравнению с другими.

Только эти портфели, образующие эффективное множество, следует  рассматривать при формировании портфеля инвестора. Наиболее типичная картина связи доходности и риска  портфеля активов показана на графике, представленном на рис.3.3, так как активы, для которых коэффициент корреляции принимает значения ± 1,0 на практике не встречаются.

Рис. 3.3. Доходность (%) и риск портфеля из двух активов  А и В при r_AB = 0

Обычно инвестор располагает возможностями  выбирать для формирования портфеля широкий круг проектов, любые ценные бумаги, предлагаемые на финансовом рынке, из них он должен составит составить эффективное множество портфелей, для которых соотношение между риском и доходностью достигает максимума. Это множество будет характеризоваться функцией, график которой подобен верхней ветви графика на рис. 3.3.

На рис. 3.4 эффективные портфели, составленные из множества активов характеризуется  частью BME линии ABME, которая ограничивает заштрихованную область возможных портфелей.

Справа эта область может  ограничиваться, например, линиями  АН, НG, GЕ, которые характеризуют доходность и риск портфелей, состоящих только из двух акций – соответственно А и Н, Н и G, G и Е.

Портфель, состоящий из множества активов. Если добавлять в портфель все большее количество новых активов, то как правило, риск портфеля будет быстро снижаться. Характеризовать риск портфеля, составленного из множества активов можно с помощью I-коэффициента (йота- или иота-коэффициент), который, как было указано, представляет собой отношение среднеквадратичного отклонения ожидаемой доходности к её наиболее вероятной величине, и определяется в этом случае с использованием формул (3.1) и (3.5).

 

Рис. 3.4. Эффективные и оптимальные  портфели, комбинирование инвестором безрискового актива с рыночным портфелем

В одном простейшем случае йота-коэффициент  специально подобранного портфеля определяется следующим образом:

Ι_р = Ι_i · ,                                 (3.7)