Инвестиции

Портфель №7 имеет однопериодную  среднюю доходность 6,5% и однопериодное стандартное отклонение доходности – 10,2%. Теперь сравним портфель №7 с портфелем №10, для которого однопериодная средняя доходность равна 26,5%, а стандартное отклонение – 46,4%.

Доверительная трубка. Рассчитаем 90%-ный доверительный интервал для доходностей обоих портфелей – №7 и №10 для всех инвестиционных горизонтов от первого до пятидесятого. Он характеризуется границами, указанными в табл. 12.2. Для расчета нужно воспользоваться таблицами вероятностей логарифмически нормального распределения.

Доверительный интервал, построенный  для непрерывного множества инвестиционных горизонтов, получил название доверительной трубки, которая характеризуется границами трубки, представленными для обоих портфелей в табл. 12.2. Доверительная трубка портфеля №7 представлена на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Доверительная трубка доходности портфеля №7: математическое ожидание и 90% доверительный интервал по периодам до 16-го

Рассмотрим наихудший сценарий (нижняя граница доверительного интервала  доходности для каждого портфеля) в табл. 12.2. Нижняя граница для  более рискового портфеля №10 дает худший результат по сравнению с менее рисковым портфелем №7 только для инвестиционных горизонтов длинной 14 или менее периодов.

Для любого инвестиционного горизонта  длинной 15 или более периодов при наихудшем сценарии первоначально более рисковый 10-й портфель оказывается предпочтительным по сравнению с первоначально менее рисковым 7-м портфелем при том же сценарии.

Любой рациональный – не расположенный  к риску инвестор будет демонстрировать  рост предпочтения, отдаваемого первоначально  более рисковому портфелю №10, с увеличением инвестиционного горизонта, выбираемого этим инвестором.

Пример  свидетельствует: инвесторы будут  проявлять все большее предпочтение менее рисковым однопериодным портфелям только по мере уменьшения их инвестиционного горизонта, что подтверждается выводами, полученными на основе многочисленных эмпирических данных.

Критерий допустимых померь. Приведенные выше объяснения роли, которую играет инвестиционный горизонт, привели к построению новой формальной модели оптимизации портфеля в многопериодном случае.

Эта модель, первоначально была разработана  для узкоспециального применения при оценке стратегий торговли фьючерсами. Она базируется на критерии, который был назван критерием допустимых потерь.

Критерий  допустимых потерь является формальным обобщением доверительной трубки. Как следует из приведенного выше определения доверительной трубки, нижняя ее граница задает максимальную при заданном уровне доверия величину потерь в капитале в процентах от первоначально вложенного капитала, например 10%, и временные рамки, в течение которых эти потери могут быть понесены.

Доверительный уровень можно перевести в  уровень значимости, имея в виду, что критерий допустимых потерь имеет  дело только лишь с рисками потерь. Так, 90%-ный уровень доверия преобразуется  в 5%-ный уровень значимости для  критерия допустимых потерь.

В критерии допустимых потерь оптимальный однопериодный портфель определяется как портфель, который, если его повторять для каждого периода на всем протяжении инвестиционного горизонта, максимизирует ожидаемую доходность при условии определенных, допустимых на конечный момент инвестиционного горизонта потерь первоначально вложенного капитала.

Этот критерий согласуется с  тем, как инвесторы в действительности представляют себе баланс между риском и доходностью.

Методика расчета, применяемая  при использовании критерия допустимых потерь, требует вследствие предположения о логарифмически нормальной стоимости портфеля довольно трудоемких вычислений, но она легко может реализована на компьютере.

Оптимальный однопериодный  портфель – новое определение. Изложенное позволяет по новому определить оптимальный однопериодный портфель, под которым можно понимать портфель, который, если его держать в течение Т последовательных периодов, приведет в результате к многопериодному оптимальному портфелю.

Этот портфель и является оптимальным однопериодным портфелем для инвестиционного горизонта длины Т.

Параметрами модели допустимых потерь служат:

1. длина инвестиционного горизонта;
2. максимально допустимые потери в процентах от размера начальной инвестиции;
3. определяемый инвестором уровень значимости.

Критерий допустимых потерь может  быть применен для определения того, как изменяется оптимальный однопериодный  портфель, когда инвестиционный горизонт становится короче. Рассмотрим это на примере.

Пример – продолжение предыдущего примера. Поскольку в примере принято, что в соответствии критерием допустимых потерь воспринимаемый риск должен оставаться постоянным и означать максимально допустимые потери, составляющие 10% от объема инвестиции при 5%-ном уровне значимости, любое изменение в выборе портфеля должно означать и изменение в восприятии риска.

Используя метод, описанный выше, получим оптимальный однопериодный портфель для множества минимальной дисперсии, задаваемого приведенным ранее конкретным соотношением (12.9).

Оптимальные однопериодные портфели для одного и того же инвестора для пяти-, четырех-, трех-, двух- и однопериодного горизонта по расчетам, выполненным Маршаллом и Бансалом, представлены в табл. 12.3 и на рис.12.2, где они показаны в координатах «риск – доходность».

Табл. 12.3. Оптимальные портфели с  разными горизонтами

Длина горизонта	Среднее, %	Дисперсия	Стандартное отклонение, %
5	15,5	0,05327	23,08
4	13,5	0,03675	19,17
3	12,0	0,02689	16,40
2	10,5	0,01949	13,96
1	9,5	0,01575	12,55

Табл. 12.3 и рис.12.2 наглядно демонстрируют, что если инвестиционный горизонт сокращается, инвестор будет стремиться поменять более рисковый – более агрессивный однопериодный портфель на менее рисковый – более консервативный однопериодный портфель.

Рис. 12.2. Оптимальные для одного и того же инвестора портфели в пяти горизонтах: точки слева направо – одно-, двух-, трех-, четырех- и пятипериодный горизонты

Эмпирические данные о таком  поведении ранее вынуждали экономистов предполагать, что с возрастом инвесторы становятся все более не расположенными к риску. Однако такая интерпретация, как стало теперь очевидно, не обоснована. Инвестор не изменяет свое отношение к риску. Его критерий выбора оптимального портфеля никогда не меняется. Инвесторы с возрастом действительно выбирают все менее рисковые портфели. Это происходит потому, что восприятие инвестором рисковости любого заданного однопериодного портфеля меняется, когда его горизонт становится короче.

Инвесторы с течением времени постепенно переходит ко все менее рисковым портфелям, что происходит не потому, что становятся менее расположенным к риску, просто они видит все более короткие горизонты.

12.3. Вероятностные оценки чистой  приведенной стоимости инвестиционных  проектов

Появление новых критериев оценки портфельных инвестиций, таких как доверительная трубка и критерий допустимых потерь, стимулировало разработку аналогичных критериев для оценки инвестиционных проектов с использованием модели дисконтированного денежного потока.

Доверительный интервал чистой приведенной стоимости. Для оценки отдельных проектов, а также инвестиционных программ с учетом риска, в качестве основного показателя можно использовать доверительный интервал чистой приведенной стоимости и отбирать проекты, доверительный интервал чистой приведенной стоимости которых представляется инвесторы предпочтительным.

Чистая приведенная стоимость  инвестиционного проекта, напомним, имеет нормальное распределение. Это  несколько упрощает получение оценок по сравнению с приведенными выше. Границы доверительного интервала чистой приведенной стоимости проекта определятся по заданному уровню доверительной вероятности с помощью следующих формул.

Нижняя граница доверительного интервала чистой приведенной стоимости проекта N определится как: 

N = NPV – t(P) ·s _NPV,                                 (12.10)

здесь  NPV – математическое ожидание чистой приведенной стоимости;

s – среднеквадратичное отклонение чистой приведенной стоимости проекта;

t(P) – коэффициент доверительного интервала;

P – доверительная вероятность, которую выбирает инвестор – лицо, принимающему решение .

Верхняя граница доверительного интервала  чистой приведенной стоимости проекта H определится как: 

H = NPV + t(P) ·s _NPV.                      (12.11)

Пример. Имеется два альтернативных проекта одинаковой продолжительности. Первый проект имеет расчетное значение – математическое ожидание NPV₁ величиной 200 тыс. руб., среднеквадратичное отклонение чистой приведенной стоимости проекта s_NPV1 равно 100 тыс. руб. Второй проект имеет расчетное значение – математическое ожидание NPV₂ величиной 300 тыс. руб., среднеквадратичное отклонение s_NPV2 равно 200 тыс. руб. Доверительная вероятность, с которой лицо, принимающее решение, желает получить обоснование – 90%.

Оценить доверительные интервалы NPV обеих проектов.

Определим соответствующее вероятности  в 90% табличное значение интеграла  вероятностей – функции Лапласа:

=0,45.

По таблицам интеграла вероятностей, приведенным в приложении, определим  коэффициент доверительной вероятности, соответствующе доверительной вероятности в 90%:

t(0,45) = 1,67.

Для первого проекта по формулам (12.10) и (12.11) получим:

N₁ = 200 – 1,67 · 100 = 33 тыс. руб.; H₁ = 200 + 1,67 · 100 = 367 тыс. руб.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что с вероятность 90% чистая приведенная стоимость проекта будет составлять от 33 тыс. руб. до 367 тыс. руб.

 Для второго проекта получим:

N₂ = 300 – 1,67 · 200 = – 34 тыс. руб.; H₂ = 300 + 1,67 · 200 = 634 тыс. руб.

Полученные данные свидетельствуют о том, что с вероятность 90% чистая приведенная стоимость второго проекта будет колебаться от отрицательной – убытков в размере –34 тыс. руб., до положительной – прибыли в размере 634 тыс. руб.

Лицо, принимающее решение, не слишком  склонно к риску, так как выбрало высокий уровень доверительной вероятности – 90%, поэтому оно скорее всего выберет первый проект, так как второй проект с учетом риска может оказаться и убыточным.

Нижняя граница доверительного  интервала чистой приведенной стоимости. В качестве количественного показателя, позволяющего оценить инвестиционный проект или инвестиционную программу предприятия с учетом риска можно использовать нижнюю границу доверительного  интервала чистой приведенной стоимости.

Такой показатель представляет собой  оценку величины чистой приведенной стоимости, гарантированно получаемой с заданной вероятностью в результате реализации инвестиционного проекта или инвестиционной программы. Нижняя граница доверительного  интервала чистой приведенной стоимости может оказаться и отрицательной. Это будет означать, что потери с заданной вероятностью не превысят установленной величины. Введенный показатель может быть определен по формуле (12.10), которую для этого необходимо представит в виде:

N = NPV – t_N(P) ·s _NPV,                        (12.12)

здесь  t_N(P) –  коэффициент нижней границы доверительного интервала.

Коэффициент нижней границы доверительного интервала легко может определен в зависимости от уровня доверительной вероятности. Для нормального закона распределения коэффициент доверительной вероятности определится из уравнения:

P_N = 1/2 + Ф (t_N )/2,                              (12.13)

здесь  P_N  – вероятность того, что NPV не будет меньше, чем N;

Ф – функция Лапласа, для которой в приложении приведены таблицы величины Ф/2.

Значения вероятности получения  чистой приведенной стоимости в  заданном размере, рассчитанные с  использованием выражения (12.13), приведены в табл. 12.4.

Табл. 12.4 –  Доверительная вероятность P_N  и доверительном интервал t_N.

tN	0	0,1	0,25	0,5	0,75	1,00	1,25	1,50
PN, %	50	54	60	69	77	84	89	93

Зависимость коэффициента доверительного интервала от доверительной вероятности иллюстрируется графиком, представленным на рис. 12.3.

Рис. 12.3. Зависимость коэффициента доверительной вероятности от доверительной  вероятности в показателе «нижняя  граница доверительного  интервала  чистой приведенной стоимости»

Показатель (12.12) может быть использован  как критерий сравнительной оценки альтернативных инвестиционных проектов, а так же как критерий принятия или отклонения проектов или инвестиционных программ.