Инвестиции

2.6. Финансовая математика –  функции сложных процентов

Во временной оценке денежных потоков чаще всего используются шесть следующих функций сложного процента. Эти функции могут применяться для построения инвестиционных моделей. Каждая из шести функций, рассмотренных ниже, предусматривает, что проценты умножают средства, находящиеся на депозитном счете, причем только до тех пор, пока они остаются на этом счете. Таблицы наиболее часто используемых из числа этих шести функций приведены в приложении.

Будущая стоимость денежной единицы  – накопленная сумма единицы денежных средств (Future value – FV). Вычисление на основе сложного  процента означает, что начисленные на первоначальную сумму проценты к ней присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную за счет процентов сумму. Сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. Расчет наращенной суммы ведется по формуле:

FV_n = PV ·  k_n = PV · (1+ a)ⁿ,                                  (2.7)

где     FV_n – наращенная (будущая) сумма на счете;

PV – первоначальная сумма, помещенная на счет;

k_n – коэффициент наращивания, таблица которого приведена в приложении;

a – номинальная годовая процентная ставка;

n – число лет нахождения денег на счете.

Пример. Сумма в 10 000 руб. хранится на депозите – сберегательном вкладе четыре года при годовой ставке, равной 10%. Какова будет сумма вклада в конце срока хранения, как будет наращиваться капитал?

Эта сумма  определится по формуле (2.7) и составит:

FV₄ = 10 000 · (1+ 0,10)⁴ = 14 640 руб.

Начисление процентов в течении  года может осуществляться ежемесячно, или ежеквартально. В этом случае формула для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид :

FV_n,m = PV· (1+ a / m)^n·m,                                     (2.8)

где     a – номинальная годовая процентная ставка;

m – число начислений процентов за год.

Пример. Сумма в 10 000 рублей хранится на депозите четыре года при ставке, равной 10% годовых, проценты начисляются ежеквартально. Стоимость депозита в конце срока составит:

FV_n,m = 10 000 · (1 + 0,10/4 )^4´·4 = 14 845,06 руб.

Эффективная процентная ставка (effective interest rate – APR). На практике необходимо сравнивать условия операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. Начисление процентов по облигациям производится раз в год или полгода, по банковским депозитам, или кредитам может осуществляться ежеквартально или ежемесячно. Сравнение выполняют путем приведения соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту – эффективной процентной ставке:

 APR = (1 + a / m)^m – 1.                                        (2.9)

Пример. Определим эффективную процентную ставку для предыдущего примера:

APR = (1 + 0,10 / 4)⁴ – 1 = 0,103813.

Таким образом, помещение суммы в на депозит под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов эквивалентно помещению на депозит с начислением процентов ежегодно по ставке 10,3813 %.

Операция может проводиться  в течении определенного срока, тогда эффективная процентная ставка исчисляется как:

 APR = a · t / 365,                                         (2.10)

где  a – номинальная процентная ставка, назначенная на операцию;

t – срок операции в днях.

Текущая – современная  стоимость разовых платежей (Present value PV). Из соотношения (2.7) легко получить формулу для подсчета текущей, то есть современной стоимости разового платежа:

PV_n = FV_n ·  k_Dn = FV_n / (1+ a)ⁿ,                       (2.11)

где   FV_n – номинальная сумма будущего платежа;

k_Dn – коэффициент дисконтирования, таблицы которого приведены в приложении;

a – номинальная годовая процентная ставка;

n – число лет до платежа.

Пример. Определим сумму, которая будучи помещенной на депозит сроком на 4 года, составит к концу этого срока сумму в 14 641 руб. при процентной ставке равной 10%. По формуле (2.11) получим:

PV₄ = 14 641 / (1 + 0,10)⁴ = 10 000 руб.

В случае, когда начисление процентов  осуществляется m раз в году, соотношение (2.11)  преобразуется к виду:

PV_n,m = FV_n / (1+ a/m)^n·m.                                (2.12)

Процентные  ставки и сроки операции определяются по формулам:

a = (FV_n / PV_n)^1/n – 1.                                       (2.13)

n = ln(FV_n / PV_n) / ln(1 + a),                                   (2.14)

где   ln – натуральный логарифм, его таблицы приведены в приложении.

Примеры. Сумма в 10 000 руб. помещенная в банк на депозит сроком на четыре года составила к концу периода величину 14 641 руб.. Определим величину процентной ставки по формуле (2.13):

a = (14 641 / 10 000)^1/4 – 1 = 0,10 (10%).

Определим срок проведения операции, чтобы сумма в 10 000 руб., помещенная банк на депозит под 10% годовых, позволила получить 14 641 руб. По формуле (2.14):

n = ln(14 641 / 10 000) / ln(1 + 0,10) = 0,381 / 0,095 = 4,011,

то есть, необходимый срок операции – приблизительно четыре года.

Финансовая рента –  аннуитет. Часто приходится сталкиваться с возникновением потоков платежей распределенных во времени. В дальнейшем будем использовать термин аннуитет в узком смысле для обозначения денежных потоков, имеющих вид серии периодических платежей одинаковой величины, возникающих через равные интервалы времени.

Будущая стоимость аннуитета (Future value of an annuity – FVA) представляет собой сумму всех составляющих его платежей, с начисленными на них процентами на конец срока проведения операции.

Пример. Ежегодно в банк вносится сумма 10 000 руб. при ставке 10% годовых. Какова будет величина вклада к концу четвертого года?

FVA₄ = 10 000 · (1 + 0,10)¹ + 10 000 · (1 + 0,10)² + 10 000 · (1 + 0,10)³ +10 000 · (1 + 0,10)⁴ = 46 410 руб.

Для расчета можно использовать таблицы, приведенные в приложении, или формулу:

FVA_n = p · [ (1+ a)ⁿ –1] / a,                                   (2.15)

где  FVA_n – будущая стоимость денежного потока;

p – величина регулярного (ежегодного) платежа;

a – номинальная годовая процентная ставка;

n – число лет осуществления платежей.

Платежи могут  осуществляться несколько раз в  году в году – ежемесячно, ежеквартально. Тогда будущая стоимость аннуитета составит:

FVA_n,m = p_n,m · [(1+ a/m)^n´m – 1] / (a/m),                       (2.16)

где  FVA_n,m – будущая стоимость денежного потока;

p_n,m – величина годовой суммы разовых платежей;

m – число платежей в году;

n – число лет, в течении которых продолжается операция.

Пример. Каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 10 000 руб. Ставка годовых процентов равна 12%, проценты начисляются в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу четвертого года?

Общее количество платежей за четыре года: n ´ m = 4 ´ 12 = 48. Ежемесячная процентная ставка: a / m = 12 / 12 = 1%. Стоимость потока к концу периода составит:

FVA_4,12 = 10 000 · [(1+ 0,01)⁴⁸ – 1] / (0,01) = 612 226, 08 руб.

Текущая стоимость аннуитета (Present worth of an annuity – FVA) – это сумма всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции. Определение текущей стоимости денежного потока, представляющего собой аннуитет, можно видеть на следующем примере.

Пример. Необходимо получать доход, равный 10 000 рублей в год в течении четырех лет. Какую сумму нужно положить в банк, чтобы обеспечит получение дохода, если годовая ставка процентов равна 10?

PVA₄ = 10 000 / 1,10   + 10 000 / (1,10)² +10 000 / (1,10)³ + 10 000 / (1,10)⁴ =

= 31 698,65 руб.

Для определения текущей стоимости  аннуитета расчетная формула  имеет следующий вид:

PVA_n = P_n · [(1+ a)ⁿ – 1] /  [a · (1+ a)ⁿ ].                       (2.17)

Суммы платежей, процентные ставки и сроки операций. Если известна будущая стоимость FVA_n, при заданных n и a величина платежа р может быть определена как:

p = FV_n · a / [ (1+ a)ⁿ –1].                                (2.18)

Если неизвестной величиной  является n, то она определяется как:

n = {ln[(FVA_n / p) · a + 1]} / {ln(1 + a)},                          (2.19)

где  ln – натуральный логарифм, его таблицы приведены в приложении.

Исчисление процентной ставки для  денежных потоков в виде серии  платежей возможно только численным  методом, путем последовательных приближений.

Периодический взнос на погашение кредита (Installment of amortize one – IAO). Существуют различные способы погашения задолженности. Типичный план расчета по долгам предполагает погашение долга равными срочными платежами, включающими выплату основной суммы долга и процентов по нему, и позволяющими полностью погасить кредит в течение установленного срока. Размер срочного взноса рассчитывается по формуле:

IAO _n = D · {[ a · (1+ a)ⁿ ] / [(1 + a}ⁿ – 1]},                     (2.20)

где  IAO _n – величина периодического взноса;

D – величина долга;

a – номинальная годовая процентная ставка;

n – число лет возврата долга.

Пример. Банк выдал кредит на сумму 100 млн. руб. сроком на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Определить размер ежегодной выплаты на погашение долга.

По формуле (2.20) ежегодная выплата  составит:

IAO ₅ = 100 · {[0,06 · (1+ 0,06)⁵ ] / [(1 + 0,06}⁵ – 1]} = 23,74 млн. руб.

Часто оказывается необходимым  знать величину остатка невыплаченного основного долга на какой-либо период. Это величина рассчитывается по формуле:

D _k = D · {[(1+ a)ⁿ – (1 + a)^k ] / [(1 + a}ⁿ – 1]},                   (2.21)

где  k – номер периода, в котором произведена последняя срочная уплата.

Пример. Продолжение предыдущего примера. Определит остаток невыплаченного долга на начало третьего года погашения:

D ₃ = 100 · {[(1+ 0,06)⁵ – (1 + 0,06)² ] / [(1 + 0,06}⁵ – 1]}= 63,4555 млн. руб.

Фактор фонда возмещения (Sulking fund factor – SFF) – периодический взнос в фонд накопления. Величина этого взноса определяется по формуле:

SFF _n = K · / [(1 + a)ⁿ – 1],                                   (2.20)

где  SFF _n – величина периодического взноса;

K – величина капитала, который должен быть накоплен;

a – номинальная годовая процентная ставка;

n – число лет накопления капитала.

Пример. Предприниматель планирует заменить автоматическою линию через пять лет. Он полагают, что через пять лет линия будет стоить 100 тыс. долл. Какую сумму он должен депонировать по окончании каждого года с учетом того, что средства на счете будут аккумулироваться по годовой ставке в 10%, чтобы накопить сумму, необходимую для оплаты автоматической линии?

По формуле (2.20) сумма ежегодного взноса составит:

SFF _n = 100 · / [(1 + 0,1)⁵ – 1] = 16,380 тыс. долл.